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中国古代数学对微积分形成的贡献 陈 顺 清 （四川文理学院 数学系 四川 达州 635000） [摘 要] 文章介绍了中华民族对世界数学，特别是微积分的形成与发展作出的贡献，对数学分析教学提出了自己的看法。 [关键词] 微积分，无限数，实数系，进前取。 [中图分类] O175.8 MR（2000）主题分类 34B15 对于近代数学的重要成果之一——微积分的形成与发展的历史无疑是数学界的重要话题。翻开有关微积分的教材和介绍其发展历史的著述，无论是外国人编写的，还是我国的作者；无论是过去，还是现在；大多数定理的前面都冠之以某某外国人的大名，却很少甚至根本没有反映中华民族对于微积分的形成与发展所作出的贡献。大量历史事实无可辩驳地说明，我国是人类数学的故乡之一。中华民族有着光辉灿烂的数学史，对世界数学的形成与发展作出了巨大贡献。中华民族功不可磨，理应受到世人的承认与尊重。 我国古代数学对于微积分形成的贡献 众所周知，在牛顿与莱布尼兹发明微积分前经历了十分艰难曲折的一个世纪的酝酿阶段。“作为产生微积分的必要条件中，有些是在我国早已有之，而为希腊式数学力所不及的。” 1无限数概念的萌芽 我国春秋战国时期，百家争鸣，学术繁荣。先秦时期的哲学家和科学家，从数和形的侧面来反映和刻画现实世界中的无限性。 （1）对宇宙无限性的认识 例如，《尸子》中对“宇宙”的阐述：“四方上下曰宇，往古来今曰宙。”说明“宇”是包括东西、南北、上下的三维空间；“宙”是包括过去、现在和将来的一维空间。宇宙是空间和时间的统一。又如，《墨经》也指出：“《经上》：宇，弥异所也。”、“《经说上》：宇、东、西、家、南、北。”、“《经上》：久（宙），弥异时也。”、“《经说上》：久，古、今、旦、莫（暮）。”、这里看出，墨翟与尸佼认为宇宙是无边无际，无始无终的，这样的理解已经包含着对时间与空间无限性的思想。 另外，在《庄子·天下篇》中说：“南方无穷而有穷”。在《墨经》中也有，“《经说上》：久，有穷、无穷。”即作为宇宙空间的“南方”是无穷的，但由于人们受其所生活的有限的球形大地的限制，因而在人们活动范围内和视野里的“南方”却又是有穷的了。从古至今，从早到晚，对于每个具体过程而言，时间是有穷的但就其总和来说，时间又是无穷的了。作为整体的“无穷”，正是由作为部分的“有穷”所构成的。人们正是通过有穷来认识无穷的。 此外，《墨经》对空间区域的有穷和无穷给出了明确的定义：“《经上》：穷，或（域）有前不容尺也。” “《经说上》：或不容尺，有穷。莫不容尺，无穷也。”即是说，若是用尺子来量某一空间，到了某一处“有前不容尺”，则该空间就是有穷的；否则，若不断量下去，总是“前容尺”，则该空间就是无穷的。 再者，惠施在《庄子·天下篇》中说：“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一。”这里，“大一”即万物概莫能外的无穷空间：“小一”即无所包容的几何学中的点。不难看出，它们具有现代无穷大与无穷小思想的萌芽。 （2）事物的无限可分性与空间的连续性 先秦诸子继承和发扬了《周易》对事物的可分性的认识，能够对事物的无限可分来认识宇宙空间的连续性。例如，我们熟知的辩者在《庄子·天下篇》中精辟论述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：一尺长的木棒（线段），若每天去其长度之半，则可以世代不断地分割下去，进而永远不会完结。这反映了辩者对线段的无限可分性的思想，而且还给出了无穷小数列： ,,,…… ，… 又如，《墨经》中有：“《经上》：端，体之无厚而最前者也。”，“《经说上》：端，无间也。”，“《经上》：间，不及旁也。”，“《经说上》：间，谓夹者也。尺前于区而后于端，不夹于端与区内。及“非齐及之及也。”，这里，端、尺、区相当于现在几何学中的点、线、面。上段话的意思是，由点组成线；由线组成面；由面积成几何体。构成图形基本元素的点、线、面均“无厚”，但其中最原始最基本的乃是点。整体可分为若干部分，达到至极便得到点；而点是不可再分的。 再如，在《墨经》中还有关于线的连续性的深刻表述：“《经下》：非半不斮则不动，说在端。《经说下》：非：斮半，进前取也。前则中无为半，犹端也。前后取，则端中也。斮必半，毋与非半，不可斮也。”，“斮”者破也。“非”应理解为“棰”。此段话的意思是：将棰（线段）一半一半地分割下去，势必分割到不可割的“端”。若按“进前取”的方式来分割棰，则“端”必在棰的一端；若按“前后取”的方式来分割棰，则“端”必在棰的中间。可用现在的数学符号说明如下：设有一线段：“进前取”从线段的端出发向端前进，进到的中点，割去其一半，余下(是的一半)；再对按上法割取，割去的一半，余下的一半（即的四分之一）：再对重复前法割取，割