0014虚位移原理.ppt

第4节广义坐标形式的静力学普遍方程 实例分析 自由度 例1 解 例2 解 解析法 解 几何法 例3 解 第5节主动力有势情况下的静力学普遍方程 力场 主动力有势情况下的静力学普遍方程 例2 解 * Page * 静力学普遍方程的特点 作为对比，单个质点平衡时?F=0 在质点系中，通常受某些约束，各点的虚位移不独立，因此 ● 若坐标独立，其虚位移（变分）是否独立？ 今天的课堂内容，就是解决这样几个问题： 广义坐标的概念 自由度的概念 ●如果虚位移都是独立的，会有什么结果？ ●怎样选取独立的坐标？ 广义力的概念 不独立 能够唯一地确定质系可能位置的独立参数称为广义坐标。 广义坐标数为： 根据需要可以任选k个可以确定质系可能位置的独立参数 作为广义坐标，它们可以是距离、角度、面积等。 广义坐标 空间质点系 平面质点系 N－－质点的数目；r－－约束方程的个数 空间刚体系 平面刚体系 N－－刚体的数目；r－－约束方程的个数 利用广义坐标描述质系运动，几何约束自然满足 O x y r l A B 把A、B看成是两个可运动的质点， 广义坐标数为： N = 2 OA、AB长度为约束，B点上下运动也受约束，共有3个约束方程 r = 3 如果考虑系统有A、B、O共3个质点，N＝3，则约束也增加，r＝5，广义坐标数k＝2N－r＝1 因此，在考虑广义坐标系时，只需考虑运动的质点 另一个问题：广义坐标独立，但是其变分是否独立？ O x y r l A B 如果把杆OA、杆AB、滑块B看成是刚体，则原先的A、B、O点看成是约束，广义自由度该如何计算？ 3个刚体，N＝3 约束方程： 每个平面铰链有2个约束方程，共6个； 对滑块B，不能转动，不能上下运动，有2个约束方程； r = 6 + 2 = 8 广义坐标数目K = 3N – r = 9 – 8 = 1 广义坐标的计算有不同的方法，结果都应该相同 独立的虚位移数就是质系的自由度。 N – 质点总数 r – 完整约束的总数； s – 非完整约束的总数； 自由度数目 比较： 广义坐标数为： 如果是完整约束，k＝n 如果是非完整约束，kn 完整约束的例子 O x y r l A B 广义坐标数目为1， 自由度数为1 刚性杆 广义坐标数目为1， 自由度数为1 弹簧 广义坐标数目为2， 自由度数为2 为了描述圆球在水平面上作纯滚动，独立的参数为 非完整约束的例子 独立的广义坐标数为5；自由度为3。 广义坐标形式的静力学普遍方程 Qj 称为对应于广义坐标 qj 的广义力。 广义力是广义坐标和时间的函数。 广义力是主动力的某种代数表达式，但不一定具有力的量纲。广义力和广义坐标变分的乘积一定具有功的量纲。 广义力与真实力相比，数目大为减少。 具有完整理想约束的质系，其平衡的充分必要条件是：所有的广义力等于零。 静力学普遍方程 上述结论的条件是什么？ 广义坐标独立，与广义坐标的变分独立，是否是一回事？ 惰钳机构由六根长杆和两根短杆组成，长杆长2a，短杆长a，各杆之间用铰链相连。它在顶部受力P的作用，问下部力Q的大小为多少才能使系统处于平衡状态。图中 ? 为已知角。 取?为广义坐标 均质杆OA和AB用铰A连接，用铰O固定。两杆的长度为 和 ，质量为均为P 。在B端作用一水平力 ，求平衡时两杆与竖直方向夹角 取a、b 为广义坐标 首先取 再取 已知： m1, m2, M, ?, ?, 且接触面光滑。 求：平衡时， m1, m2, M 的关系。 M 二自由度的平衡问题 选独立的广义坐标 x1, x2 m2g m1g Mg M 若在空间某区域，质点所受的作用力只依赖于空间位置和时间，而与其速度无关，则称该空间区域存在力场，如重力场、万有引力场、弹性力场、电场、磁场等。 若存在标量函数V，只依赖于质点Pi的坐标xi、 yi、 zi，并且质点Pi在力场中所受的力等于 则称力场有势，函数V为势能，Fi为有势力。 设质系所受的主动力有势： 质系的平衡方程 对主动力有势的质系，其势能在平衡位置取驻值。 拉格朗日定理：对完整保守系统若势能函数在平衡位置取孤立极小值, 则该平稳位置稳定。 q V q V 结果与前相同。 M a 已知： m1, m2, M, ?, ?, 且接触面光滑。 求：平衡时， m1, m2, M 的关系。 例1 已知：灯G的质量为m，A、C为铰链，B为套筒。杆的质量不计。当? = 180? 时弹簧为原长。 求：当? = 120? 系统处于平衡时，弹簧刚度k应具有的大小，并讨论该平衡位置的稳定性。 * *