03简易逻辑--简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.ppt

* 一、逻辑联结词： 1. “或”、“且”、“非”这些词叫做基本逻辑联结词 “或”与集合运算中的“并”相当，表示两个简单 命题至少有一个成立。 “且”与集合运算中的“交”相当，表示两个简单 命题同时成立。 “非”可联想集合中的“补集”，表示对一个命题 的否定。 2.简单命题、复合命题 不含有逻辑联结词的命题是简单命题； 由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非” 构成的命题是复合命题。 复合命题有三种形式：p或q(记作“p∨q” )； p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑p” ) 。 3. 含逻辑联结词的命题真值表 真 假 假 真 非 p p 假 假 假 真 真 假 真 假 真 真 真 真 p 或 q q p 假 假 假 假 真 假 假 假 真 真 真 真 p 且 q q p 二、全称命题与特称命题 1.全称量词： 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词，并用符号 表示 2.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题 全称命题“对M中任意一个 成立”， 可用符号确记为： 读作：“对任意 成立”。 3.存在量词： 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常 叫做存在量词，并用符号 表示 4.特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题 可用符号确记为： 读作：“存在 成立” 特称命题“存在M中的一个 成立”。 命题的否定 命题 5.含有一个量词的否定 全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 典型例题 二、命题的四种形式 逆否命题: 若?q, 则?p. 原命题: 若 p, 则 q; 逆命题: 若 q, 则 p; 否命题: 若?p, 则?q; 互逆 互逆 互 否 互 否 否命题 若?p 则?q 逆否命题 若?q 则?p 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 互 为 逆 否 否 逆 为 互 注: 互为逆否命题的两个命题同真假.　 三、反证法 1.一般步骤 ①反设: 假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立; ②归谬: 从假设出发, 经过推理论证, 得出矛盾; ③结论: 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确. 2.命题特点 ①结论本身以否定形式出现; ②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式; ③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式; ④结论的反面比原结论更具体或更易于证明. 3.特殊结论的反设 至少 n+1 个 至多 n-1 个 至少有一个是 不都是 不小于(≥) 不大于(≤) 反设词 至多 n 个 至少 n 个 都不是 都是 小于() 大于() 原结论词 至少有一个 x, 使…不成立 不存在或至少存在两个 只有有限多个 反设词 对任意 x, 使…恒成立 存在唯一的 有无穷多个 原结论词 4.引出矛盾的形式 ①由假设结论 q 不成立, 得到条件 p 不成立; ②由假设结论 q 不成立, 得到结论 q 成立; ③由假设结论 q 不成立, 得到一个恒假命题; ④分别由假设与条件推得的两个结论矛盾. 典型例题 用反证法证明下列各题: 1.某班有 49 位学生, 证明: 至少有 5 位学生的生日同月. 3.设 f(x)=x2+ax+b, 求证: |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一个不小于 . 1 2 4.设三个正数 a, b, c 满足条件 + + =2, 求证: a, b, c 中至少有两个不小于 1. b 1 a 1 c 1 2.若 p1p2=2(q1+q2), 证明关于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 与 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一个方程有实根. 证: 假设至多有 4 位学生的生日同月, 即: 生日在 1, 2, …, 12 月的学生人数都不超过 4 人. 则该班学生总数 m≤4?12=48人, 与该班有 49 位学生的条件矛盾, ∴假设不成立. ∴至少有 5 位学生的生日同月. 1.某班有 49 位学生, 证明: 至少有 5 位学生的生日同月. *