04_全微分、方向导数、梯度.ppt

例 解 回头看全微分公式 这与物理中的叠加原理相符. 二. 方向导数 回忆一元函数的单侧导数: A B C x O y z . P0 P l . 利用点函数推广到 方向导数的定义 设函数 在 内有定义. 若点 沿射线 l 趋于 时, 极限 l 方向的方向导数. 记为 存在, 则称该极限值为函数 在点 处沿 比较方向导数与偏导数的概念 在方向导数中, 分母 在偏导数中, 分母 可正、可负. 即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时, 方向导数与偏导数也是两个不同的概念. 单向 双向 利用直线方程可将方向导数的定义表示为: 射线 l 的方程: 则 故 怎么计算方向导数？ 方向导数导计算公式 若函数 在点 处可微, 则函数 在点 处沿任一方向 的方向导数存在, 且 其中, 各偏导数均为在点 处的值. 定理 例 解 由点 到坐标原点的距离定 义的函数 在坐标原点处 向导数值都等于 1: 的两个偏导数均不存在, 但它在该点 沿任何方向的方向导数均存在, 且方 此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是 必要条件. 例 只与函数在点 X0 处的偏导数有关. 1 一个问题： 该问题仅在 不同时为零才有意义. 在给定点 沿什么方向增加得最快? 可微函数 现在正式给出 的定义 grad u 且 三. 梯度 定义 设 则称向量 为函数 在点 处的梯度, 记为 或 * 高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学 （三） 多元微积分学 第一章 多元函数微分学 第一章 多元函数微分学 本章学习要求： 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。 理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 知道二元函数的泰勒公式形式。 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。 了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题。 第四节 全微分 方向导数 梯度 我们以二元函数为主, 进行讲解, 所得结论可容易地推广至三元和三元以上的函数中. 一. 全微分 回忆一元函数的微分 可微 可导 运用多元函数的全增量概念, 将一元函数的微分概念推广到多元 函数中. 一元函数的增量 多元函数的全增量 回忆一元微分的几何意义 y D y d 一元: 用切线上的增量近似曲线上的增量. 多元: 用切平面上的增量近似曲面上的增量. 应用 的某一个 线性函数表示二元函数的全增量 二元函数全微分的定义 时, 若函数在点 X0 处的全增量可 则称函数在点 X0 处可微, 设函数 在点 的某一邻域 称为函数在点 X0 处的全微分, 其中, a , b 是与DX 内有定义, 当 获得增量 且 表示为 0 有关的常数. 无关,仅与 X 全微分概念的极限形式 其中 如果函数 在区域 ? 中的 每一点均可微, 则称函数在区域 ? 上可微 . 函数在区域上的可微性 可微 连续 可导 ? ? ? 在多元函数中, 三者的关系如何？ 连续： 可微与连续的关系(可微的必要条件) 可微： 什么关系? 函数 在点 X0 处可微, 则必在点 X0 处连续 . 可微与连续的关系(可微的必要条件) 可微 连续 可导 ? 在多元函数中, 可微 连续 可微与可导的关系(可微的必要条件) 可微： 定理 若函数可微, 则 即 同理, 取 证 可微 连续 可导 在多元函数中, 可微 可偏导 可微 连续 可导 在多元函数中, 可微 可偏导 在多元函数中,可偏导 可微 ?