06 非线性规划.ppt

OR1 非线性规划 非线性规划问题及其数学模型 极值问题 凸规划 一维有哪些信誉好的足球投注网站 无约束极值问题 约束极值问题 1. 非线性规划问题及其数学模型 非线性规划问题举例： Example1：第82页例6-1 Example2：第82页例6-2 非线性规划问题的数学模型 非线性规划问题的图示 1.1 非线性规划问题举例 Example1: 某商店经销A、B两种产品，售价分别为20和380元。据统计，售出一件A 产品的平均时间为0.5小时，而售出一件B 产品的平均时间与其销售的数量成正比，表达式为1 + 0.2n。若该商店总的营业时间为1000小时，试确定使其营业额最大的营业计划。 1.1 非线性规划问题举例 [解] 设x1和x2分别为商店经销A、B两种产品的件数，于是有如下数学模型： 1.1 非线性规划问题举例 Example 2: 在层次分析（Analytic Hierarchy Process, 简记为 AHP）中，为进行多属性的综合评价，需要确定每个属性的相对重要性，即它们的权重。为此，将各属性进行两两比较，从而得出如下判断矩阵： 1.1 非线性规划问题举例 a11 … a1n J= … … , an1 … ann 其中： aij是第i个属性与第j个属性的重要性之比。 1.1 非线性规划问题举例 现需要从判断矩阵求出各属性的权重，为使求出的权重向量W在最小二乘意义上能最好地反映判断矩阵的估计，由aij=wi/wj可得： 1.2 非线性规划问题的数学模型 s.t. 其中 是n维欧氏空间En中的向量点。 1.2 非线性规划问题的数学模型 由于， ,“≤”不等式仅乘“-1”即可转换为“≥”不等式；因此上述数学模型具有一般意义。又因为等价于两个不等式： ; ,因此非线性规划的数学模型也可以表示为： 1.3 非线性规划问题的图示 若令其目标函数f (X)=c,目标函数成为一条曲线或一张曲面；通常称为等值线或等值面。此例，若设f (X)=2和f (X)=4可得两个圆形等值线，见下图： 1.3 非线性规划问题的图示 由左图可见,等值线f (X)=2和约束条件直线6-6相切，切点D即为此问题的最优解，X*=(3, 3)，其目标函数值 f (X*)=2。 1.3 非线性规划问题的图示 在此例中，约束 对最优解发生了影响，若以 代替原约束，则非线性规划的最优解是 ，即图中的C点，此时 。由于最优点位于可行域的内部，故事实上约束 并未发挥作用，问题相当一个无约束极值问题。 1.3 非线性规划问题的图示 [注] 线性规划存在最优解，最优解只能在其可行域的边缘上（特别能在可行域的顶点上）得到；而非线性规划的最优解（如果存在）则可能在可行域的任意一点上得到。 2. 极值问题 局部极值与全局极值 极值点存在的条件 凸函数和凹函数 凸函数的性质 函数凸性的判定 2.1 局部极值与全局极值 线性规划 最优解 全局最优解 非线性规划 局部最优解 未必全局最优 局部极值 对于?X-X*? 均有不等式 f (X) ≥ f (X*) ，则称 X*为 f (X)在 R上的局部极小点，f (X*)为局部极小值； 对于?X-X*? 均有不等式 f (X) f (X*) ，则称 X*为 f (X)在 R上的严格局部极小点， f (X*)为严格局部极小值； 全局极值 对于X,X* ∈R均有不等式 f (X) ≥ f (X*) ，则称 X*为 f (X)在 R上的全局极小点，f (X*)为全局极小值； 对于X,X* ∈R均有不等式f (X) f (X*) ，则称X*为f (X)在R上的严格全局极小点， f (X*)为严格全局极小值。 2.2 极值点存在的条件 必要条件 设R是En上的一个开集，f (X)在R上有一阶连续偏导数，且在点 取得局部极值，则必有 或 必要