06-代数结构-63-66.ppt

第六章 代数结构 第三节 同态与同构 一、同态 定义设 X, ⊙, Δ 与 Y, ⊙’, Δ’ 是具有相同构成成分的代数结构。其中⊙和⊙’是二元运算，Δ和Δ’是一元运算k和k’分别是这两个代数结构的特异元素若存在一个函数f，对于任意a, b ? X，有： 同态 f : X ? Y f(a ⊙ b)=f(a)⊙’ f(b) f(Δ a)= Δ’ f(a) f(k)=k’ 则称f是从 X, ⊙, Δ 到 Y, ⊙’, Δ’ 的同态映射 R(f), ⊙’, Δ’ 为 X, ⊙, Δ 在f下的同态象也称 Y, ⊙’, Δ’ 为 X, ⊙, Δ 在f下的同态象记作： X, ⊙, Δ ? Y, ⊙’, Δ’ 同态 f : X ? Y f(a ⊙ b)=f(a)⊙’ f(b) 同态 例：考察代数系统Z, . ，这里“.”是普通乘法运算。如果我们对运算结果只感兴趣于正、负、零之间的特征区别，那么，代数系统Z, . 中的运算结果的特征就可以用另一个代数系统B, ⊙ 的运算结果来描述，其中B＝{正,负,零}， ⊙是定义在B上的二元运算，如表所示 同态 上例告诉我们，在Z, .中研究运算结果的正、负、零的特征就等于在B, ⊙ 中的运算特征，可以说，代数系统B, ⊙ 描述了Z, .中运算结果的这些基本特征，这正是研究两个代数系统之间是否存在同态的重要意义。 有一个代数系统到另一个代数系统可能存在多于一个的同态 同态 定理： R(f), ⊙’, Δ’ ? Y, ⊙’, Δ’ 证明：因为f : X ? Y，所以 R(f) ? Y，对于任意y1,y2 ? R(f)，存在x1, x2 ? X，使得f(x1)= y1， f(x2)= y2， 且存在x3 ? X，使得x1 ⊙ x2 =x3，所以有 y1 ⊙’ y2 = f(x1) ⊙’ f(x2)= f(x1 ⊙ x2 )=f( x3 ) ? R(f) 因此R(f)在⊙’下是封闭的，同理可证R(f)在Δ’下是封闭的， 根据子代数定义，可知 R(f), ⊙’, Δ’ ? Y, ⊙’, Δ’ 同态 例6.3.1 给定了R, +和R, ×，其中R是实数集合，+和×分别是加法和乘法运算，试证明R, + ? R, ×。 证明：构造函数f: R ? R，f(x)=ax (a0，x ? R) 因为 对于任意y, z ? R，有f(y+z) = ay+z = ay × az = f(y)×f(z)，且f(0)=a0=1 所以R, + ? R, × 同态 定义：设X, ⊙ ? Y, ⊙’，且f为其同态映射 若f为单射，称f为从X,⊙到 Y,⊙’的单一同态映射 若f为满射，称f为从X, ⊙到 Y, ⊙’的满同态映射 若f为双射，称f为从X, ⊙到 Y, ⊙’的同构映射记作X, ⊙ ? Y, ⊙’ 设X, ⊙ ? X, ⊙，且f为其同态映射则称f为自同态映射若f为双射函数，称f为自同构映射 同态 例6.3.2 有代数Z, +（Z为整数集合，+为整数加法），构造函数 f: Z ? Z，f(x)=kx（k ? Z） 因为：f(x+y) = k(x+y)= kx+ky = f(x)+f(y)（并且f(0)=0，0是Z, + 的么元） 所以 f 是从Z, +到Z, +的自同态映射。 若k≠0，f是单射的，此时f是从Z, +到Z, +的单一同态映射 当k=1或-1，f是双射的，此时f是从Z,+到Z,+的同构映射 同态 例6.3.3 有代数R, +和R, × （R为实数集合，+为实数加法，×为实数乘法），构造函数 f: R ? R，f(x)=2x 因为：f(x+y) = 2x+y= 2x×2y = f(x)×f(y)（且f(0)=20 =1，0是R,+的么元， 1是R,×的么元） 所以 f 是从R, +到R, ×的同态映射。 并且f是单射的，此时f是从R, +到R, ×的单一同态映射 同态 例6.3.4 有代数?*, 和N,+（?*为有限字母表上的字母串集合，为字母串的连接运算，N为自然数集合，+为加法），构造函数 f: ?* ? N，f(x)=|x|（|x|表示x的长度） 因为：f(xy) = |xy|= |x|+|y| = f(x)+f(y)（且f(∧)=0，∧是?*, 的么元， 0是N,+的么元） 所以 f 是从?*, 到N,+的同态映射。 并且f是满射的，此时f是从?*, 到N,+的满同态映射 同态的性质 下面定理说明代数结构A的满同态象与A的关系概括地说就是： A的满同态象是代数A的缩影 A中有关运算和特异元素的重要性质，在A的满同态象中被保持下来 要说明的就是，这种“保持”是单向的 同态的性质 定理：设 X,⊙,Δ ? Y,⊙’,Δ’ ，且f为其满同