1-10 连续函数的运算及性质.ppt

世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 第十节 连续函数的运算及性质Continuous function operation and nature 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、最大值和最小值定理 五、介值定理 六、小结 思考题 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、最大值和最小值定理 五、介值定理 四、小结 * * * 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 定理1 例如, 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 定理3 证 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 将上两步合起来: 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 例1 解 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 例2 解 同理可得 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 定理4 注意　定理4是定理3的特殊情况. 例如, 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. ★ (均在其定义域内连续 ) 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 注意　 注意　2. 初等函数求极限的方法代入法. 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 例3 例4 解 解 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 定义: 例如, 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 证 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 定义: 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 几何解释: 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 几何解释: M B C A m a b 证 由零点定理, 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值. 例4 证 由零点定理, 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 例5 证 由零点定理, 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 连续函数的和差积商的连续性. 复合函数的连续性. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法. 两个定理; 两点意义. 反函数的连续性. 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 四个定理 有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意　1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立． 解题思路 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理; 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 思考题1 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 思考题1解答 是它的可去间断点 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 思考题2 下述命题是否正确？ 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 思考题2解答 不正确. 例函数 世界会向那些有目标和远见的人让路 与君共勉 练 习 题1