102 单因素方差分析 - 幻灯片1.ppt

第10章 方 差 分 析 10.2 单因素方差分析 10.2.1 单因素方差分析的问题 单因素方差分析用来检验根据某一个分类变量得到的多个分类总体的均值是否相等．下面以一简例说明方差分析的原理． 【例10.1】某化肥生产商要检验三种新产品的效果，在同一地区选取18块大小相同，土质相近的农田中播种同样的种子，用等量的甲乙丙化肥各施于六块农田，试验结果每块农田的粮食产量如下所示． 试根据试验数据推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异． 本例中，只考虑化肥这一个因素(记为A)对粮食产量的影响，三种不同的化肥称为该因素的三个不同水平（分别记为A1，A2，A3）． 从表中数据看出，即使是施同一种化肥，由于随机因素（温度，湿度等）的影响，产量也不同． 因而有： (1) 粮食产量是随机变量，是数值型的变量； (2) 把同一化肥(A的同一水平)得到的粮食产量看作同一总体抽得的样本，施用不同化肥得到的粮食产量视为不同总体下抽得的样本，表中数据应看成从三个总体X1，X2，X3中分别抽了容量为6的样本的观测值. 推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异的问题，就是要辨别粮食产量之间的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同化肥造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布的讨论． 由于在实际中有充分的理由认为粮食产量服从正态分布, 且在安排试验时, 除所关心的因素(这里是化肥)外, 其它试验条件总是尽可能做到一致. 这使我们可以认为每个总体的方差相同 即 Xi～N(?i,σ2) i = 1, 2, 3 因此，推断三个总体是否具有相同分布的问题就简化为：检验几个具有相同方差的正态总体均值是否相等的问题，即只需检验 H0： ? 1 = ? 2 = ? 3 因此，推断三个总体是否具有相同分布的问题就简化为：检验几个具有相同方差的正态总体均值是否相等的问题，即只需检验 H0： ? 1 = ? 2 = ? 3 象这类检验若干同方差的正态总体均值是否相等的一种统计分析方法称为方差分析． 当只有两个正态总体时，这类问题也可以用第八章讲过的两正态总体均值比较的方法来解决． 10.2.2 单因素方差分析的数学模型 进行单因素方差分析时，需要得到如表10.2所示的数据结构． 表10.2 单因素方差分析中数据结构 表中用A表示因素，A的m个取值称为m个水平分别用A1，A2，…，Am表示，每个水平对应一个总体． 从不同水平（总体）中抽出的样本容量可以相同，也可以不同．若不同水平抽出的样本容量相同则称为均衡数据，否则称非均衡数据． 设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …，ni， i = 1，2，…，m), 由于 ，i = 1, 2, …, m 单因素方差分析模型常可表示为： xij = ?i + ?ij ，相互独立，1≤i≤m，1≤j≤ni. 其中?i表示第i个总体的均值，?ij为随机误差． 10.2.3 方差分析的方法 为了方便起见，可将?i记为：?i = ? + ?i 其中 称为总均值, ?i = ?i – ? (i = 1, 2, …, m) 称为因素A的第i个水平的附加效应. 对不同水平下均值是否相同的检验 H0：?1 = ?2 = … = ?m， H1：?1，?2，…，?m不全相等； 就可以表示为： H0：?1 = ?2 = … = ?m = 0， H1：?1，?2，…，?m不全为零． 下面简单介绍检验统计量及检验方法． 以 表示所有xij的总平值， 表示第i组数据的组内平均值，即 其中n = n1 + n2 + … + nm．统计量： 称为总离差平方和，或简称总平方和. 它反映了全部试验数据之间的差异． 另外 反映了每组数据均值和总平均值的误差，称为组间离差平方和，简称组间平方和，或称因素A平方和． 反映了组内数据和组内平均的随机误差，称为组内离差平方和，或称为误差平方和． 可以证明 SST = SSMA + SSE 构造检验统计量 可以证明，在H0成立下 当原假设成立时，各总体均值相等，各样本均值间的差异应该较小，模型平方和也应较小，F统计量取很大值应该是稀有的情形． 所以对给定显著性水平? ? (0, 1)，H0的拒绝域为： 若由观测数据xij(j = 1, 2, …, ni，i = 1, 2, …, m)计算