106差分方程的基本概念.ppt

* 微分方程-------未知函数为连续型 差分方程-------未知函数为离散型 10.6差分与差分方程的基本概念 两者性质相近，但是差分方程在经济中的运用更为广泛，象统计某些经济量时，以天、月为单位 一、差分： 研究函数 y= f ( x ) 的变化速度问题 若f (x)连续，速度： 若f ( t )离散，速度： －－微商 －－差商 其实质就是一个量在一个单位内的变化情况 t t+Δt f(t) f(t+Δt) 注意：差商中Δt只能取整数倍 特别：差商 差分 定义：设y= f (t),记为 ，其中t（通常表示时间）的取值为等间隔的整数值 ， 则 称为函数 在t处的差分，记为 即 例1：求下列函数的差分 解:(1) 结论（1）常量的差分为零。 （2）幂函数的差分次幂降低一次。 （3）指数函数的差分为原指数函数的若干倍 例1：求下列函数的差分 练习：求 的差分 差分的简单性质 P407 性质3、4---差分的乘除运算 高阶差分 差分 在 t 处的差分，称为 在 t 处的二阶差分，记为 即 同学们想一想下面怎么计算？ 类似地有：三阶差分： 四阶差分： 二、差分方程 定义：含有自变量 t 以及未知函数不同时期值的函数方程称为差分方程，其一般形式为 其中未知函数下标的最大差，称为差分方程的“阶” 如： 二阶 一阶 重要说明：1）差分方程的另一个定义 定义’：含有自变量 t 以及未知函数各阶差分 的方程称为差分方程，其一般形式为 2）两种“阶数”定义不等价！ 其中未知函数差分的最高阶数，称为该差分方程的“阶” 如： 二阶 但是 一阶 约定：阶数以定义为准！！！ 考试中常出现两类题：1）给一个函数求其差分；2）给一个差分方程(往往是定义’的题型)确定其阶 切记!!!求差分方程的阶时方程一定要转化为下标形式 例如：差分方程 的阶数为______ 2 阶数为2，而不是3！ 三、差分方程的解 1、定义：若将已知函数代入差分方程后，可使该方程恒成立，则称此函数为该差分方程的解。 2、通解与特解 通解－－－含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于方程阶数的解 特解－－－不含有任意常数的解 通常可根据定解条件，确定通解中任意常数的值而得到特解。 3。差分方程解的重要性质