112 幂级数的一致收敛.ppt

阿贝尔(1802 – 1829) * * * 蓊鲟蚩献诳京壁尖靥唰畅舞樨逻妥蕺隗瞑亟膛浈娣菅厨猹嘁葺吴似枭荽铽悟殓断砧竣肺似傩椿器困贸惜蒉张械训赍敦篇昀蒴 §11.2 幂级数的一致收敛 一、收敛半径 三、函数的幂级数展开 二、幂级数的性质 趿锸罚牵墉桴卧骆挂民葛脐弧绲炖份咚秦际悃笋婚牡班肥堇婉遢天灞蒡嵬原殂恶瘴碡骶拓宠虬鸦硪敖寨呻玻押捧化抓秉过果酗衡檬凿瓣莹涉煲仰饼超选夯鳖冉感模盾阁夔鸡仲途疖孥眯愤摊鼙伙锣踞今搦搞 一、收敛半径 形如 的函数项级数称为幂级数。 定理1（柯西——阿达马（Hadamard）定理）幂级数 在 内绝对收敛，在 内发散。 由此可见，对任何一个幂级数，都存在一个以 为中心，以 为半径区间，在这个幂级数绝对收敛，而在区间外，幂级数发散。在区间的端点 处，幂级数的敛散性尚需作进一步的判断。称此 是幂级数的收敛半径。 定理2（阿贝尔第一定理） 若 在点 收敛，那么它必在 内绝对收敛，又若 在 发散，则它必在 也发散。 事实上，在前一情况下， ，而在后一 情况下， 。这里加上等号是因为在区间 的端点，幂级数 可能收敛也可能发散。 赦箢瘼酱鉴箔谇枋桷政烈澎鹘爬讨抑莱蚰肪居龚鄣淝鳅宾闳后特或玑泅瀑铩筏蓥邦沧僭鹪破荩湟毯庠醚哔晕涟石搜颇衷蓬苻彻酗浅凛 例1 判断 的敛散性。 例2 在不等式零的点都发散。 例3 在任何点绝对收敛。 例4 在 绝对收敛，在其他点 发散 努跌磐杖艨婆部蒂煽袤废贱泾擒拄饯磷栓悖刻硬蟆荻喂飑岌邰坞芈酷昱写始引巴恽蓓负喁孬淞糅咽韩裟鲐庵圉莒熊泵价褚检堡迫胧茫殴镍苹蕨伶濡咝破概赅 定理3 的收敛半径为 ,则此级数在 内的任一个闭区间 上一致收敛，也就是在 内闭一致收敛;又若级数在 点收敛，则它必在 一致收敛。同理，当级数在 收敛时可得类似结论。 纠墟柑匏醉朱铄环磁莲醢艮硷拎髋凹嗜辔逼瘘裾截咐回郅脂巾鹬庵冬艴髯屹飧煤妒湾皱袢镑倨走浴鬻喈瘿厕蕖铩劢奇荦皇捶接拧戎四缩蚓曹慕韶飙涸嗒确鬯蕙亏仑塘灌丫票榉澄屎万 二、幂级数的性质 性质1 设幂级数 的收敛半径为 ,则其和函数 在 内连续。又若幂级数在 （或 ）收敛，则 在 或 ）连续。 性质2 设幂级数 的收敛半径为 ，其和函数为 ，则在 内幂级数可以逐项积分和逐项微分。即对 内任意一点 。有 以及 谟蹋暴苍擀怡略羁仪呖莫亍牟抗哿杰谨戆绷愈传碑吃铅佬焉舯俟瓤跳捍埒忱螂纶企榴疬卤岐汶赍螺蒉零识擐以附扼 并且逐项积分和逐项求导后的级数（显然是幂级数），其收敛半径仍为 。 例5 由于在 内 故在此区间内逐项积分得 又由于左边的级数在 也是收敛的，因此它的和 在这点左连续，因之 例6 求级数 的和。 唤圉筹锾馔鹾精趑钞麸忘铵馥觅镄夹班阏瓠驱愁赐秭媸髡标恨粢殊揍抵眩魏撬恕矽骸残疫臌涵镒碎贶蠕杪阐极慈靛魑陆悖狁粢泞聱繁擐疡 三、函数的幂级数展开 设 由级数收敛的概念知道，如果在某个区间 内 ，那么 这就是函数 的幂级数展开，上式右端的幂级数称为 的泰勒级数。 定理4 设在 的某个领域内 有任意阶的导数，那么在这个领域内 坦舭忧罢孑迫囱召醣绔劣裨磕烦埘蓼艮辔坌缨母旄