12直角三角形.ppt

九年级数学（上册）第一章 证明(二) 1.2直角三角形（1） 一、有关直角三角形的一些定理。 例：等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高。如图，在△ABC中，已知AB=AC= 2a，∠ABC= ∠ACB= 15°,CD是腰AB上的高，求CD的长。 解： ∵ ∠ABC= ∠ACB= 15°， ∴ ∠DAC= ∠ABC+∠ACB=50 ° ∴ CD= AC= ×2a=a 2定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形相等。 如图，已知直角三角形ABD和ABC，∠D= ∠C=90°，BD=AC。求证：△ABD≌ △ ABC 证明：∵BD=AC（已知） ∠D= ∠C=90° （已知） AB=BA（公共边） ∴ △ABD≌ △ ABC 二、勾股定理与它的逆定理的证明 （1）勾股定理的证明 （2）总统证法 2、勾股定理的逆定理 三、命题与逆命题 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。. 四、定理与逆定理 勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形. 命题与逆命题 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 定理与逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. P21 习题1.4 * * B C D A 1 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 C A B D 1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）. a c b 勾 弦 股 方法一: 拼图计算 方法二：割补法 方法三：赵爽的弦图 方法四：总统证法 方法五：青朱出入图 方法六：折纸法 方法七：拼图计算 这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法? P19读一读“勾股定理的证明” ′ 这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积公式。 图中三个三角形面积的和是 2×ab/2＋c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2; 比较可得:c2 = a2+b2 。 伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 ． 勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！ a b a b c c 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形. 已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形. a c b A B C (1) 证明:作Rt △A′B′C′使∠C′ =900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图2),则 A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理). 已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形. a c b A B C (1) a c b B′ A′ C′ (2) ∵AC2+BC2=AB2(已知), A′C′=AC,B′C′=BC(作图), ∴ AB2=A′B′2(等式性质). ∴ AB=A′B′(等式性质). ∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS). ∴ ∠A=∠A′＝ 900(全等三角形的对应边). ∴ △ABC是直角三角形(直角三角形意义). 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形 观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流. 再观察下面三组命题: 如果两个角是对顶角,那么它们相等, 如果两个角相等,那么它们是对顶角; 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎; 三角形中相等的边所对的角相等, 三角形中相等的角所对的边相等. 一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. 想一想: 互逆命题与互逆定理有何关系? 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. 小结