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13. Butterworth 综 合 西安电子科技大学，电子工程学院 苏 涛 13. Butterworth综合 一、Butterworth逼近 二、Butterworth多项式 三、Butterworth多项式的n 四、Butterworth综合 13. Butterworth综合 一、Butterworth逼近 二、Butterworth多项式 三、Butterworth多项式的n 四、Butterworth综合 13. Butterworth综合 13. Butterworth综合 13. Butterworth综合 * 理想低通响应 可实现逼近响应 根据逼近函数不同：Butterworth，Chebyshev等 采用下面的函数逼近理想低通响应， —— Butterworth逼近 1. 3dB特性 当 时， 2. 偶函数特性 3. 最大平滑特性 当 时， 显然，在 处的1，2，——，2n-1阶导数为零 显然，在 处的1，2，——，2n-1阶导数为零 Butterworth逼近函数在零点和无穷远点均具有最大平滑特性 当 时，令 一、Butterworth逼近 二、Butterworth多项式 三、Butterworth多项式的n 四、Butterworth综合 Butterworth逼近 复延拓 【定义】 方程左半平面的根组成 ，称其为Butterworth多项式 有 解方程 2n个根对称等间隔的分布在单位圆上。 【定理】Butterworth多项式是n阶多项式 其中， 【证明】令 有， 做符号代换， 由于变量的任意性，即所有系数为零。寻找 系数 得到， 显然， 一、Butterworth逼近 二、Butterworth多项式 三、Butterworth多项式的n 四、Butterworth综合 n 是Butterworth多项式的唯一可变参量； n 确定，波形确定； n 与带外衰减指标相关。 衰减 令 Hn=1，无耗情况； 带外指标 时， 一、Butterworth逼近 二、Butterworth多项式 三、Butterworth多项式的n 四、Butterworth综合 理想响应 采用Buttworth逼近函数 网络无耗 分解反射函数 非唯一，可实现性 阻抗函数 阶梯电抗网络 1. 求S11乘积 令 2. 提取S11 注意：分解的过程不是唯一的；分母的根必须在左半平面； 【定理】 取正号； 取负号； 【证明】 考虑直流情况，源和负载直接相连， 又， 得到， 显然地， 取正号； 取负号； 3. 得到输入阻抗 4. 输入阻抗辗转相除，得到电抗阶梯网络 【例】试综合Hn=1，n=2，Butterworth网络 【解】 令：