17-第17讲高阶导数.ppt

* 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第十七讲 高阶导数 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 第四章 一元函数的导数与微分 本章学习要求： 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。 第三节 高阶导数 第四章 一元函数的导数与微分 一. 高阶导数的概念 高阶导数的运算法则 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数 一. 高阶导数的概念 例 推而广之: 按照一阶导数的极限形式, 有 和 一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连 续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导 数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为 如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为 ………………………… 解 例1 注意, 当 k = n 时 综上所述： 解 例2 多项式 的高阶导数. ……………… 解 例3 对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 . 求 y = ex 的各阶导数. 解 y = ex 的任何阶导数仍为 ex 例4 求 y = ax 的各阶导数. 解 运用数学归纳法可得 例5 求 y = lnx 的各阶导数. 解 设 例6 类似地, 有 则 故由数学归纳法得 解 注意这里的方法 例7 即 类似地, 有 解 看出结论没有？ 例8 运用数学归纳法可以证得 类似地 , 可求得 解 例9 解 二阶导数经常遇到, 一定要掌握. 例10 解 由复合函数及反函数的求导法则, 得 例11 解 例12 高阶导数的运算法则 设 f (x), g(x) 有直到 n 阶的导数, 则 (1) (2) 莱布尼兹公式 两个基本公式 由于 故 解 例13 解 由莱布尼兹公式 例14 证 看出一点什么没有？ 你打算怎么处理此式？ 例15 对上式关于 x 求导 n 次： 故 即 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数 原则是: 按照高阶导数的定义, 运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导. 对方程两边关于 x 求导: 解 想想如何求二阶导数？ 例16 *