1第一节 不定积分的概念和性质.ppt

第四章 不定积分 一、 原函数与不定积分的概念 （2） 从实际问题看 问题: 定理 2. 定义 2. 不定积分的几何意义: 例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 例2. 质点在距地面 先求 二、 基本积分表 (P188) 例3. 求 三、不定积分的性质 例4. 求 例5. 求 例6. 求 例8. 求 例9. 求 例11. 求 内容小结 上页 下页 返回 结束 * 第四章 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 不定积分的概念与性质 （1） 从运算与逆运算看 初等数学中加法与减法、 乘法与除法、 乘方与开方等， 都是互逆的运算。 微分运算是对一个可导函数求导数。 微分运算的逆运算是什么？ 问题： 这就是求原函数和不定积分的运算。 反问题： 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 例如： 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 存在问题 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 结构问题 定理1. 存在原函数 . (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知 故 即 属于函数族 即 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 被积表达式. — 积分变量; (P185) 若 则 记作 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. 的积分曲线 . 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 处以初速 力, 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 则 (运动速度) (加速度) 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 再由此求 由 知 再求 由 知 故 于是所求运动规律为 从不定积分定义可知: 或 或 利用逆向思维 ( k 为常数) (P187) 或 或 解: 原式 = 性质 1 性质 2 推论: 若 则 解: 原式 = 解: 原式 = 解: 原式 = 分项积分 例7. 求 解: 原式 = 解: 原式 = 加项减项 解: 原式 = 三角公式 例10. 求 解: 原式 = 解: （方法一） 原式 = （方法二） 原式 = 上页 下页 返回 结束