21矩阵的初等变换.ppt

* * 1 矩阵的初等变换 定义 初等行(列)变换: 1°交换矩阵的两行(列) , 记为 2°将矩阵的某行(列) 的各元素乘以同一个 非零的数 k , 记为 3°将矩阵某行(列) 的各元素乘以同一个数 后加至另一行的对应元素上去 , 记为 §2.1 矩阵的初等变换 定义 (行阶梯形矩阵) 1°如果A有零行，零行在非零行下方， 2°A的第 k 个非零行的第一个非零元在第 jk 列, 共有 r 个非零行, 则 则称A为行阶梯形矩阵 定义 （规范的行阶梯形矩阵） 指满足下面条件的行阶梯形矩阵 1°每个非零行的第一个非零元素为1 2°每个非零行的第一个非零元素所在 的列的其他元素都为0 1 1 1 定理1 任何矩阵可以经过单纯的行初等变换 化为行阶梯形矩阵 定理2 任何矩阵可以经过单纯的行初等变换 化为规范的行阶梯形矩阵 例1 用初等行变换化如下矩阵为行阶梯形矩阵 方法: 逐列检查 阶梯形矩阵 规范的行阶梯形矩阵 1 1 1 1 矩阵的标准形 列初等变换 定理 任何矩阵可以经过初等变换 化为标准形矩阵 设矩阵 A 为 m ? n 矩阵, 若存在一个 r 阶子式不为零, 而矩阵 A 的所有的 r + 1 阶子式全为零, 则称矩阵 A 的秩 为 r , 记为 r ( A ) = r 定义 矩阵 A 的 k 阶子式 定义 设矩阵 A 为 m ? n 矩阵, 若 r ( A ) = m ( n ), 则称矩阵 A 为行(列)满秩矩阵 r ( A ) = m = n则称矩阵 A 为满秩矩阵 2 矩阵的秩 n 阶可逆矩阵 n 阶非奇异矩阵 n 阶满秩矩阵 矩阵秩的性质: 1° 唯一性 2° 3° 若矩阵 A 有一个 r 阶子式不为零, 则 4° 若矩阵 A 所有的 r 阶子式都为零, 则 5° 6°行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的数目 7° n 阶可逆矩阵的秩等于 n 推论 可逆矩阵的标准形矩阵( 规范的阶梯形 矩阵) 为单位矩阵 推论 设矩阵 r(A) = r , 则 A 的标准形矩阵为 定理 初等变换不改变矩阵的秩 求矩阵的秩的方法 将矩阵化为阶梯形矩阵 阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩 例 2 求矩阵 A 的秩 解 故 3 初等矩阵 定义 单位矩阵经过一次初等变换所得到 的矩阵称为初等矩阵 有三种类型的初等矩阵 定理 用一个 m （ n ）阶初等矩阵左（右） 乘一个 m ? n 矩阵， 相当于对这个 矩阵作相应的初等行（列）变换 推论 初等矩阵都是可逆矩阵且其逆矩阵 也是同类型的初等矩阵 定理 设 A 为 m ? n 矩阵，则存在初等矩阵 s.t. 为(规范的)阶梯形矩阵. 存在初等矩阵 s.t. 为标准形矩阵 推论 对 m ? n 矩阵 A ，存在 m 阶可逆矩阵 P 与 n 阶可逆矩阵 Q s.t. 推论 设 A 为 m ? n 矩阵，P 为 m 阶可逆矩阵，Q 为 n 阶可逆矩阵，则 推论 若 A 是可逆矩阵，则存在初等矩阵 s.t. 推论 n 阶矩阵可逆 它可以表示成初等 矩阵的乘积 —— 求逆矩阵的初等变换法 例3 设 判断矩阵 A 是否可逆， 若可逆，求 解 构造矩阵