332函数的单调性与极值叶燕萍.ppt

函数的单调性与极值 极值的概念 概念判断练习： １函数的极大值是函数在定义域上的最大值 ２函数在某个区间或定义域上的极大值是唯一的 ３函数某区间上的极大值一定大于极小值 ４函数的极值点，导数一定为零 ５导数为零的点一定是函数的极值点 * * 一、复习导入------复习旧课 1. 解 f(x) 0 0 f ’(x) (2，+∞) 2 (-4，2) -4 (-∞，-4) 区间 f(x)在(-∞，-4)、 (2，＋∞)内单调递增， 你记住了吗？ 有没搞错， 怎么这里没有填上？ 求导数—求临界点—列表—写出单调性 + + - f ’(x)0 (x+4)(x-2)0 x-4或x2 f(x)在(-4，2)内单调递减。 f ’(x)0 (x+4)(x-2)0 -4x2 ①观察y=f(x)的图像在x=1附近的函数特征 ②观察y=f(x)的图像在x=4附近的函数特征 问题： ① f(1)是否整个函数的最小值？ ② f(4)是否整个函数的最大值？ 结论：这类函数性质描述的是函数的局部性质——极值 一般地，当函数y=f(x)在点b处连续时,并且 在x=b附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数的极大值点， f(b)叫做函数的极大值 一般地，当函数y=f(x)在点a处连续时,并且 在x=a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值 导数左负右正——极小 导数左正右负——极大 二、讲授新课-----了解概念 x y o a b y=f(x) 单调 递减 极大值 单调 递增 f(x) - 0 + f ’(x) b =b b x 什么是极小值点、极小值、 极大值点、极大值、极值点、极值？ f(a) f(b) 小结 单调 递增 极小值 单调 递减 f(x) + 0 - f ’(x) a =a a x 极大值点和极小值点 统称为极值点 极大值和极小值 统称为极值 y a b x1 x2 x3 x4 O x 观察上述函数图像，指出该函数的极大值（点）和极小值（点） 1．理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的． (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点． (3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值． 总结 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．(如图(1)) (5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． 2．导数为0的点不一定是极值点． 例1、求函数 的极值． 应用举例 解： 当x变化时， 的变化情况如下表： + 0 — 0 + 极大值 y 2 (-2,2) -2 x 极小值 令 ，解得 当 时，y有极大值，并且 当 时，y有极小值，并且 小结 （2）求方程 的根， （1）求导数 . 求可导函数 的极值的步骤： 不等式 的解集。 （3）列表分析，如果在 的根左右两侧导数符号为左正右负，则 在此根处取极大值，该根为极大字点；如果符号为左负右正，则 在此根处取极小值，该根为极小值点。