34闭区间上的连续函数.ppt

§3.4 闭区间上的连续函数 （4课时） 连续函数的局部性质 解： 例1. 例1 证明： 例2 证明 证(1) 恒有 但在 上非一致连续. 证(2) 两点列满足： 这说明 在 上一致连续. 非一致连续. 但是 即 上不一致连续. 例3. 证明： 例4. 证明： 例5. 证明： 可以看出， 一致连续要求函数变化不要“太陡” 练习：讨论下列函数的一致收敛性 不一致连续 不一致连续 定理3.4.6 证 反证法. 满足 但是 假设f (x)在[a, b]上不一致连续, Cantor一致连续性定理 （*） 由于 是有界数列，根据 Bolzano-Weierstrass 定理，知 在 中对应地也取子列 由于有 矛盾。说明 f (x)在[a, b]上是一致连续的。 而 (*) 式对子列也成立, 又因 于是，令 k→∞, 例6 设区间 的右端点为 , 区间 的左端 上一致连续, 在区间 上也一致连续. 证明：若 分别在 点也为 证 对任意的 因为 在 上一致 连续，所以分别存在 使得 当 当 则对于任意的 有以下两种情形： 注意到 可得 综上，证得 在区间 上一致连续. 此时自然有 在区间 与区间 上分别一致连续, 但在 区间 [1, 3] 上不连续, 当然也不一致连续. 注 例6的条件 是重要的. 比如 例7 设 上连续, 并且 证明 上一致连续. 证 因为 , 所以对任意的正数 存在 又 上连续, 故由定理3.4.6可知 f (x) 上一致连续. 因此对上述?，存在正数 使对任意 只要 , 必有 现对任何 讨论如下. 情形2. 注意到 所以若情形1 不成立, 必然有 于是 * 江西财经大学 统计学院 金融精算 2013级 ( Mathematical analysis) 任课教师：王庆平 E-mail:lc_wqp@163.com 在本节中,我们将介绍连续函数的局 这些性质是具有分析修养的重要标志. 部性质与整体性质.熟练地掌握和运用 3.4.1 有界性定理 (P109） 3.4.2 最值定理 （P110） 3.4.3 零点存在定理（P111） 3.4.4 中间值定理（P112） 3.4.5 一致连续概念（112） 所谓连续函数局部性质就是指: 连续(左连续或右连续),则可推知 f 在点 x0 的某 序性等性质. 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保 3.4.1 有界性定理 故 | f (x) | 的一个明确的上界. 证 注意:我们在证明有界性时, 而不是用术语 定理（局部有界性） 则 定理（局部保序性） 则对任意一个满足 证 注 在具体应用保序性时,我们经常取 于是证得 因为{xn} 有界, 从而存在一个收敛的子列. 为了书 写方便, 不妨假设 {xn} 自身收敛, 令 设 f (x) 在[a, b]上无界, 不妨设 f (x)无上界. 则存在 二、闭区间上连续函数的性质 定理3.4.1 若 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续, 则 f (x) 证 故由海涅原理可得 矛盾. 定理3.4.2(最值定理) 若函数 f (x) 在[a, b] 证 f (x) 在 [a, b] 上连续, 因而有界. 由确界定理, f (x) 在 [a, b] 上的值域有上确界. 设 上连续, 则 f (x) 在 [a, b] 上取最大、最小值. 在[a, b] 上连续, 从而有界, 故存在 G 0, 使 这样就有 这与 M 是 f (x) 在 [a, b] 上的上确界矛盾. 这就证明了上确界 M 与下确界 m 都是可取到的, 同理可证:下确界 也属于 f ([a, b]). 最小值. 这也就是说, M 与 m 是 f (x) 在[a, b]上的最大、 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 定理3.4.3(零值定理) 则至少存在一点 使 下面用确界定理来证明上述推论, 大家要注意学习 确界定理的使用方法. 3.4.3 零点存在定理 (E为图中x 轴上的红 证 不妨设 并设 零点. 证明如下： 的最大值就是函数的 线部分)从几何上看, E 因为 所以 又 E 是有界的, 故由确 我们来否定下面两种情形: 1. 由 f (x)在点 是 连续的, 根据保序性, 存在 界定理, 存在，显然