35信号的数字分析.ppt

离散时间信号分析 离散傅里叶变换 快速傅里叶变换 离散傅里叶级数(DFS) 把离散周期信号看成是对连续周期信号进行抽样的结果 对于连续周期函数 ,有 对 进行抽样，变成了离散时间周期信号 ，该序列在时域上可以用复指数序列的傅里叶级数表示，有 式中参数之间的关系 数字角频率间隔 模拟角频率间隔或抽样频率 冲激抽样周期信号的周期 序列的间隔 周期序列的周期 谐波阶次 序列分量的序号 有 当k变化一个N的整数倍时,即当k=0, 1,2,…,N-1或k=N,N+1,…,2N-1;…时,简记为 ,由复指数序列的周期性质,有 周期离散信号时域频域上均为周期序列,当k变化一个N的整数倍时,得到的是完全一样的序列,所以一个周期序列可以表示成一个有限项(N项)指数序列的叠加 右边乘以1/N,不改变分量的相对性 上式就是离散傅里叶级数的定义,反变换为 简记 因此 离散傅里叶变换DFT 离散傅里叶级数无论正反变换都是无限长的周期序列，实际是不可能真正处理无限长的序列。 离散傅里叶变换DFT 对于一个周期序列 ,定义它的第一个周期的有限长序列称为这一周期序列的主值序列,用x(n)表示 主值序列也可以表示成:周期序列和一个矩形序列相乘的结果 周期序列 可以看作是有限长序列x(n)以N为周期延拓而成的,关系为 相应地主值序列X(k)与 的关系为 由于无限长序列 和 只需用主值序列 和 既可以求得和完全表达,周期序列 和 也可以换成 和 ,离散傅里叶级数仍然成立,因此有限长序列的傅里叶变换和反变换为 也可以用矩阵形式表示 例子 例: 用矩阵形式求矩形序列x(n)=R4(n)的DFT,再反变换 解:N=4,故 结果如图示 离散傅里叶变换与序列傅里叶变换的关系 序列傅里叶变换是有限长序列的频谱,有限长序列是非周期的序列,其频谱应当是连续周期性的频谱,而有限长序列的离散傅里叶变换DFT是离散的序列,但不是有限长序列的频谱 有限长序列的离散傅里叶变换DFT是这一序列频谱(序列傅里叶变换)的抽样值 离散傅里叶变换与序列傅里叶变换的关系 设一有限长序列x(n)的长度为N点,其z变换为 因序列为有限长,满足绝对可和的条件,其z变换的收敛域必定包含在单位圆内,则序列的傅里叶变换,即单位圆上的z变换是 以 为间隔,把单位圆均匀分成N个点,则在第k个分点 点上的值为 上面式子证明了:有限长序列的离散傅里叶变换DFT是这一序列在单位圆上的z变换(有限长序列的傅里叶变换或频谱)在单位圆上以 为间隔的抽样值 DFT与序列傅里叶变换的对比 离散傅里叶变换的性质 线性特性 若 则 式中a,b为任意常数,如果两个序列的长度不相等,以最长的序列为基准,对短序列进行补零,才能进行相加.经过补零的序列频谱会变密,但不影响问题的性质 离散傅里叶变换的性质 时移特性 1.圆周移位 将一有限长序列x(n)进行周期延拓,周期为N,构成周期序列xp(n),然后对周期序列xp(n)作m位移位处理得到移位序列xp(n-m),再取其主值序列,得到 xp(n-m)RN(n),就是圆移位序列. 这样移位的特点是有限长序列经过了周期延拓,当序列的第一个周期右移m位后,紧靠第一个周期左边的序列的序列值就依次填补了第一个周期序列右移后左边的空位,如同序列x(n)排列在等分的圆周上,N个点首尾相衔接,圆周移m位相当于x(n)在圆周上旋转m位. 离散傅里叶变换的性质 时移特性 2.时移定理 若 则 式中 指序列在频域中的相移. 序列在圆周上圆周移位,频域上将产生附加相移 反变换为 频移特性 若 则 若序列在时域上乘以复指数序列 ,则在频域上,X(k)将圆周移位l位.看作是调制信号的频谱搬移,又称为“调制定理” DFT性质 圆周卷积特性 1.时域圆周卷积 若 , , ,则 若x(m)保持不移位,则 正是圆周移位,称 为圆周卷积或循环卷