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* * 第四十五讲 主讲：杨荣副教授 吉林大学远程教育 2.5 求定积分的换元积分法和分部积分法 在例21中，用换元积分法求原函数时，要将新变量还原为原来的积分变量，才能求出定积分之值，这样做比较麻烦，现介绍省略还原为原积分变量的步骤计算定积分的方法。 1. 定积分的换元积分法 例15 求 解 令 x = t2( t≥0) ,即 ，当x = 0时 t = 0 ，当 x = 4时 t = 2 ，于是 严格说来，关于定积分的换元积分法有下面的定理。 定理7 设 则 该公式称为定积分的换元积分公式（证明从略）。 这样做省略了将新变量 t 还原为原积分变量 x 的麻烦，但需注意两点：第一，引入的新函数 一般是单调的，为的是使 t 在区间[α,β]内变化时，x在区间[a , b]内变化，且 ， ；第二，改变积分变量时必须改变积分上下限，简称为换元必换限。 （1）设 f (x)在[a,b]上的连续； （2）函数 在[α,β]上单调，且有连续导数； （3） x ∈ [α,β]时， x ∈ [a,b]， , 1. 用 把原积分变量 x 换成新积分变量 t 时，积分限也要换成新积分变量的积分限。 定理7的公式也可以倒过来使用，写成 2.求出 的一个原函数后，不必像计算不定积分那样再换回积分变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上下限代入原函数中然后相减就行了。 这里 例16 求 解 令 ，则 ，当 x = 0时 t = 0 ；当 x = 1时 t = ，于是 例18 求 例17 求 解 令 x = asect ，则 dx = asect tant dt .当 x = a时， t = 0 ；当 x = 2a时 t = ，于是 计算上式最后一个积分可不引入新的变量，则定积分上、下限也不改变。现在用这种方法计算如下： 解 由于 ，在 上， 在 上， 于是 证 由于 例19 设函数 f (x) 在对称区间[-a, a]上连续，试证： (1) 若 f (x) 为偶函数，则 (2) 若 f (x) 为奇函数，则 对上式右端第一个积分作变换，令 x = - t，得 (1) 若 f (x) 为偶函数， f (－x) = f (x)，则(2)式成为 把上式代入(1)式，得 (2) 若 f (x) 为奇函数， f (－x) = －f (x)，则(2)式成为 把上式代入(1)式，得 本例题给出奇函数和偶函数在对称区间上积分的性质，用这个性质计算对称区间上定积分时，注意到被积函数的奇偶性，可以简化计算。例如计算 ，由于被积函数为奇函数，积分区间为对称区间，立即知该积分为零。 例20 设 f (x) 是以T 为周期的连续函数，试证对任何常数 a，有 证 因为对任何常数 a ，都有 对上式右端第三个积分作变换，令 x = t＋T，并利用 f (x)的周期性，得 把上式代入(3)式，得 解 设 x－1= t ，则 dx = dt .当 x = 0时， t =－1 ；当 x = 2时 t = 1.于是