51 存在唯一性定理1961516584.ppt

内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 5.1 存在唯一性定理 一、记号和定义 的一阶线性微分方程组，其中已知函数 和 在区间 上是连续的。方程组（5.1）关于 及 是线性的。 考察形如 (5.1) 1、引进记号 则方程（5.1）可以写成如下形式: (5.2) (5.3) (5.4) 一个矩阵或一个向量在区间 上称为连续的(可微、可积) 。如果它的每一个元素都是区间 上的连续 (可微、可积)函数。且有： 微分 性质 2、矩阵（向量）连续（可微、可积）的定义 积分 2、矩阵（向量）连续(可微、可积)的定义 注意：这里是对分量或 元素的作用。 3、微分方程组解的定义 微分方程组解的定义 例1 试列出图(5.1)中经过L1及L2的电流I1及I2应满足的微分方程。 解：对回路I及回II应用基乐霍夫第二定律(参看Ch1,§1.1例2)， 得到下列方程组： 即 定义2 初值问题 微分方程组初值问题的解的定义 如果令 则上面的方程组就可以表示为： 例2 验证向量 是初值问题 在区间－∞＜t＜＋∞上的解。 分析：微分方程组解的结构和验证方法。 注释：让学生自己验证. 可以化为如下线性微分方程组的初值问题： (5.7) 二、n阶线性微分方程与线性方程组的等价性 其中 事实上，令 问题：（5.6）和（5.7）等价？ 这时 而且 证明 在包含 在区间 上(5.6)的任意解 是（5.7）的解。 若 是在包含 的 区间上（5.6）的任一解. 则可以证明 是（5.7）的解。 其中 显然 至此，等价性讨论完毕。 证明 在包含 在区间 上(5.7)的任意解向量 是(5.6)的解。事实上，令 ，并定义 由(5.7)的第一个方程，有 由(5.7)的第二个方程，有 依次这样下去，有 并满足初始条件： 因此 故 注意：每一个 n 阶线性微分方程均可以化为 n 个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。例如： 不能化为一个二阶微分方程。 作业：p 201 1 2(1,3) *三、存在唯一性定理 下面研究如下初值问题的解的存在唯一性： 1、范数 3、存在唯一性定理 2、向量收敛 分三个部分内容讨论： 1、范数 对于n×n矩阵 和n维向量 ，定义其范数为： 并有如下性质： (1) (2) 2、向量收敛 (1)向量收敛的定义 对于向量序列 ，如果对每一个 数列 都是收敛的，则向量序列 收敛。 (2)向量函数序列收敛的定义 函数序列 在区间 上都是收敛的 （一致收敛的），则称函数序列 对于向量函数序列 ，如果对每一个 在区间 上都是 收敛的（一致收敛的）. (3)向量函数级数收敛的定义 向量函数级数 称为在区间 上是收敛的（一致收敛的），如果其部分和作成的向量函数序列在区间 上收敛的（一致收敛的）。 注意： 1、关于函数级数一致收敛的判别方法对于向量函数级数也成立； 2、对于积分号下取极限定理对于向量函数也成立； 3、关于向量序列的定义及其相关结果对于矩阵序列也有类似定义 和结果; 4、以上结果均是数学分析中有关结果的推广。 例如1 对于n×n矩阵 ，其中 ，称为收敛的，如果对于一切 ,数列 都是收敛的。 例如2 无穷矩阵级数 称为收敛的，如果它的部分