723-在第3章中,我们介绍了微分学的两个基本概念导数与微分及其计算.ppt

第四章 导数的应用 第一节 中值定理 一、罗尔（Rolle）定理 二、 拉格朗日（Lagange）中值定理 三、Cauchy定理 * 在第3章中，我们介绍了微分学的两个基本概念——导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理———微分中值定理为基础，进一步介绍利用导数研究函数及进行经济分析. 第一节 中值定理 第四节 函数的单调性 第五节 函数的极值与最值 第七节 函数图形的描绘 第六节 函数的凹凸性与拐点 第八节 导数在经济管理方面的应用 第二节 洛比达法则 第三节 泰勒公式 由第三章我们知道，导数的几何意义表示曲线上该点 一条连续光滑的曲线弧，在(a,b)内可导，即在(a,b)内 每一点都存在不垂直于x轴的切线，函数在区间[a,b]上 那么问题是，在区间（a,b）内是否 存在一点 ，使得曲线在该点切线的平行于直线AB? 即 切线的斜率，下图所示函数f(x)在区间[a,b]上的图像是 的端点分别为A,B. 如果M = m, 那么f (x)在[a, b]上为常数, 而常数的导数为零, 故(a, b)内任何一点都可作为? . 定理1(Rolle定理) 如果函数 f (x)在闭区间[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 f (a)= f (b), 那么在(a, b)内至少有一点 使得 证 如图, 由于f (x)在闭区间[a, b]上连续, 故必有最大值M和最小值m. 图4.1 当 Dx ? 0时, 有 故 f ?(x) = 0. 由于 f ?(x)存在,所以 如果 , 那么最大值与最小值至少有一个在(a, b)内取的. 不妨设 f (x) = M . 故Dx, x+Dx?(a,b),有 罗尔定理的几何解释: 观察图4-2，函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条 即有 连续光滑的曲线弧，在(a,b)内可导，即在(a,b)内每一点 都存在不垂直于x轴的切线， 且 f (a)= f (b), 则可以发现 在曲线上的最高点和最低点处， 曲线有水平切线， 例1 函数 且有 因为 故存在 使得 解 例3 证明方程 有且仅有一个小于的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 在 [0 , 1 ] 上连续 , 且 由零点定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 注意：若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如, ?(x)满足Rolle定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点? ,使得? ?(? ) = 0 定理2(Lagange定理) 如果 f (x)在闭区间[a, b]上连续, 在(a, b)内可导,则??? (a, b)，使 证 作辅助函数 或 则 (2)Lagange定理精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 左端 ?y = f (x + ?x) – f (x)是函数的增量, 因此, Lagange中值定理又称有限增量定理. 有两点必须注意： (1)定理中f (b)– f (a) =f ?(? )(b –a), 当b a时也成立. 设b =x+?x, a=x, 记? = x+ ? ?x (0 ? 1) 有 证 在区间I上任取两点x1，x2 (x1x2), 由 f (x) 在I上的可导性，则在区间[x1，x2]上应用Lagange 中值定理可得 由假定， 因为x1，x2是I 上任意两点，所以上面的等式表明： 推论1 如果函数 f (x)在区间I上有f ?(x) ? 0, 则 f (x)在区间I上是一个常数。 ). ( ) )( ( ) ( ) ( 2 1 1 2 1 2 x x x x f x f x f - ￠ = - x x f (x)在区间I 上的函数值相等,即 f (x)在区间I上是一个常数。 推论2 ，则这两个函数在（a,b）内至多相差一个 常数. 如果函数f(x)与g(x)在区间(a,b)内的导数恒有 例4. 证明等式 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 自证: 经验: 欲证 时 只需证在 I 上 证 例5 在[0, x]上应用lagrange定理, 知??? (0, x)，使 即 而 从而