81分离变量法介绍.ppt

* 8.1 分离变量法介绍 （一）分离变量法 （泛定方程）波动方程： 边界条件： 初始条件： 波腹 波节 每一点绕平衡位置振动 振幅随位置变化 驻波解： 对于确定的频率，解是驻波： 带入波动方程、边界条件： 即 和 这是解的分离变量 A. Clearly, x, t 是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自独立变化。故比只能 为一常数！ 由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组： 和 B. (1) 的解： (2) (3) 非零解 ：本征值 ：本征函数 ：本征值方程 C2是积分常数。 C. A、B 是积分常数。 D. 由初始条件： 小结 分离变量： 边值确定本征值函数： 初值确定叠加系数： 注意：边界值等于零（齐次边界条件）是确定本征函数的根本。 （二）例 例1 磁致伸缩换能器－两端自由得均匀细杆。 自由：振动传递给外界 A. 分离变量： 和 B. C. D. 由初始条件： 固定 自由 自由 自由 自由 固定 固定 固定 一、二类边界条件决定的驻波 例2: 单簧管，均匀细管。研究管内空气柱的声振动，纵振动。一端固定，另一端自由。 求本征振动。 不需要初始条件。 A. 分离变量： 和 和 B. 和 和 C. K=0：基频。 K0：谐频 例3 细杆热传导。初始均匀温度为 ，保持一端温度不变，另一端有恒定 热流 流入。 解： 第一类边界条件 第二类边界条件 非齐次（不为零）边界条件。无法直接根据边界条件确定本征函数。 解＝齐次边界条件的通解＋非齐次边界条件的特解 A. 非齐次边界条件的特解： 齐次边界条件的通解: 设解： 则 初始条件： B. 分离变量 和 C. 与上题同 D.* E. “和”是迅速衰减的部分。近似：只保留 k=0 项。 例4 如图，散热片横截面为矩形。温度满足 。求稳定 温度分布。 解： 稳定分布温度满足拉氏方程： 边界条件： 从数学上讲，边界条件与初始条件并无区别，都是 确定积分常数的代数公式。尽管本题只涉及边界 条件，但可将其一视为初始条件。 令： 显然， A. 分离变量： 和 B. C. 例7: 求电场强度 解： 建立如右图坐标系，Z-轴沿导线。 导线 无限长导线的情况，可将电场看作沿z 方向不变。 只需要研究 x-y 平面的状态 平面问题。 导线的存在，如何改变电场？ *