hou8-4空间曲线.ppt

1. 椭球面 3.单叶双曲面 5. 椭圆抛物面 空间一动点到两定点 二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 例1. 将下列曲线化为参数方程表示: *(3)写出曲线Γ: *例2. 求空间曲线 ?: 例如, 直线 三、空间曲线在坐标面上的投影 从C 的一般方程中消去 z 得, 例如, 在xoy 面上的投影曲线方程为 又如, 内容小结 答案: P37 题2(2) 作业 2. 求两直线 * 绕 z 轴旋转 yoz 面上曲线 C: 绕 y 轴旋转 总之,绕谁谁不变,另外一个正负根号换, 换完就得旋转面 (根号下为另两个的平方和) §8.3内容回顾 已知轨迹求方程： 旋转面 ……………………………………… 已知方程问轨迹： 柱面、二次曲面 椭球面的草图为: 当 a＝b 时或…为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 2. 椭圆锥面 草图为: 当 a＝b 时为圆锥面 常见的二次曲面 草图为 当 a＝b 时为旋转单叶双曲面 4. 双叶双曲面 草图为: 当 a＝b 时为旋转双叶双曲面 草图为: a=b时为旋转抛物面 6. 双曲抛物面 （鞍形曲面） 草图为: 7. 椭圆柱面 8. 双曲柱面 9. 抛物柱面 绕y轴旋转一周得轨迹且方程为 为定值2a(ac0)的轨迹的标准方程为( ) . 解: 距离之和 在zoy面上动点的轨迹为 为旋转椭球面 若任取轨迹上一点 再化简整理则复杂的多. 由 第八章 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 §8.4 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. C 又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. 含在圆柱面 内的 半球体 称为维维安尼立体块. 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 . M . (动点M: 一方面沿z向上匀速v 运动; 另一方面 绕z轴逆时针以角速度ω旋转) 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 的参数方程. 由(2)得z=－x－y并代入(1)得: 则曲线C的参数方程为: 绕 z 轴旋转 时的旋转曲面方程 . 解: 点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度? 后到点 则 这就是旋转曲面满足的参数方程 . 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程 消去 t 和 ? , 得旋转曲面方程为 直接选 Z为参数 绕 z 轴 最初的 点, 旋转至(x,y,z)点, 此过程到(0,0,z)的距离 相等. (98年考研有类似的题目) 求直线 在平面 上的投影直线 的方程； 并求 （98数一 5分） 绕y轴旋转一周所成 曲面的方程． (H(x,y)=0为母线平行于z轴的柱面, 则C 在xoy 面上的投影曲线 C′为 以空间曲线 C : 柱面,称为C 在xoy 面上的投影柱面, 为准线母线平行于z轴的 它包含上述投影柱面) 投影柱面与z=0的 交线称为C 在xoy 面上的投影曲线(简称投影) . (包含投影曲线的一曲线) 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 (包含投影曲线的一曲线) 在yoz 面上的投影曲线方程为 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 上半球面 和锥面 在 xoy 面上的投影曲线 二者交线 所围圆域: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 空间曲线 三元方程组 或参数方程 求投影曲线 (如, 圆柱螺线) 思考与练习 P37 题 1，2，7（展示空间图形） P37 题1 (2) (1) (3) P37 题2 (1) 表示两平面的交线 思考: 交线情况如何? 交线情况如何? P37 题 7 但直接削去y得, 在yoz面上的投影为: …(较复杂) P37 3，4，5，6, 8 求直线 在平面 上的投影直线 的方程； 并求 （98数一 5分） 绕y轴旋转一周所成 曲面的方程． 求直线 在平面 上的投影直线 的方程； 并求 （98数一 5分） 绕y轴旋转一周所成 曲面的方程． 1. 解: 过L的平面方程为 即 法线 已知平面的法线向量 令 则过L与平面π垂直的平面为: (有轴平面束) 化为参数方程， 并选y为参数 绕y轴旋转至P(x,y,z) 则 ● (0,y,0) P(x,y,z) ● 知:为单叶旋转双曲面. 化为标准方程:… （为什么？） 间的距离. 空间点到平面的距离: 空间