半线性椭圆方程κ-凸解的常秩定理.pdf

半线性椭圆方程k一凸解的常秩定理 韩菲 中国科学技术大学数学系 中国合肥230026 导师： 麻希南教授 专业： 基础数学 时间： 2010年4月 The constantranktheoremof k．．convex solutions ofsemiline；semilinearelliticic IOnoiuation eq elliptluat FeiHan of DepartmentMathematics， ofScienceand of University TechnologyChina， Hefei，230026，China Ma Supervisor：Prof．Xi-Nan Mathematics Major：Pure Date： 2010 April 摘要 解的几何性质是椭圆偏微分方程理论中一个基本的问题．对方程解的凸性的 研究，既是分析研究的重要内容，也是研究方程本身的需要．方程的解是否凸；若 非凸，是否为部分凸，这样的凸性问题是一个长期以来倍受关注的话题．本文讨论 的是解的一种部分凸性：li。．凸，即解的Hessian矩阵的任意％个特征值的和在何种 条件下为非负．在微分几何与偏微分方程领域，对解的七．凸性质的研究都很感兴 趣．本文利用强极值原理，给出了舻上半线性偏微分方程缸凸解的常秩定理，并 利用常秩定理和连续性方法得到预定平均曲率的七．凸超曲面的存在性． 全文共四章． 第一章介绍了凸性研究史上的一些经典结果，并为后面要用到的一些名词和 符号进行必要的说明． 第二章给出了Rn上Poisson方程的七一凸解的常秩定理．分两部分，第一部 分讨论了2．凸解的常秩定理，基本的想法都蕴含于其中．第二部分讨论k≥3的 情形． 第三章得到了酽上半线性方程k一凸解的常秩定理． 第四章给出了Ⅱp上预定平均曲率的南．凸星形超曲面的存在性． 关键词：椭圆方程；舡凸；常秩定理． Abstract The ofsolutions geometricproperty isafundamentalinthe of problemtheory nonlinear differential