MATLAB编程基础－－MATLAB解方程与函数极值.ppt

MATLAB编程基础之 MATLAB解方程、函数极值 一、线性方程组求解 直接解法 利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“\”求解： x=A\b 例1 用直接解法求解下列线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]; x=A\b 利用矩阵的分解求解线性方程组 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。 常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异分解等。 (1) LU分解 矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。 MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式为： [L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵X必须是方阵。 [L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须是方阵。 实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。 例2 用LU分解求解例1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) (2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。 [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。 例3 用QR分解求解例1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]; [Q,R]=qr(A); x=R\(Q\b) 函数m文件例子 function F=zero2(x) F=sin(x(1).^2-x(2)); M文件例子 % 同一工作目录下，在MATLAB命令窗口运行下列指令 x0 = [-6;-5]; % 给变量初始值 x = fsolve(@zero2,x0) % 求解方程，options缺省，等价形式还可以写成x = fsolve(zero2,x0) x = -5.9868 -4.9989 二、非线性方程数值求解 1.单变量非线性方程求解 在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为： z=fzero(fname,x0,tol,trace) 其中fname是待求根的函数文件名，x0为有哪些信誉好的足球投注网站的起点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只给出离x0最近的那个根。tol控制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace指定迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示，缺省时取trace=0。 例4 求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根。 步骤如下： (1) 建立函数文件funx.m。 function fx=funx(x) fx=x-10.^x+2; (2) 调用fzero函数求根。 z=fzero(funx,0.5) z = 0.3758 2. 函数的零点 一元函数的零点 [x,fval]=fzero(fun,x0,options) 例5 求f(x)=x3-2x-5的零点 x = -5:0.1:5; f = x.^3-2*x-5; xlabel(x); ylabel(f(x)); plot(x,f,x,0) 训练题：编写f(x)=x3-2x-5成为一个zero1的函数文件 % 计算2附近的零点和该点的函数值 [xout,f] = fzero(@zero1,2) xout = 2.0946 f = -8.8818e-016 3. 多元函数的零点 例6求方程f(x,y,z)=2x+3y2+xz在（2,2,2）附近的零点 function F=zero3(x) F=2*x(1)