2011年数学高考考点预测26：数形结合的思想方法.doc

2009届新课标数学考点预测（26）： 数形结合的思想方法 山东省兖州市第六中学 《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。其中数学思想方法包括： 函数与方程的思想方法、 数形结合的思想方法 、 分类整合的思想方法、 特殊与一般的思想方法、 转化与化归的思想方法、 必然与或然的思想方法。数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。” 数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。 数形结合的思想方法 数形结合思想是一种很重要的数学思想，是数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面，把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把 图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。特别是在集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点，就要用数形结合形象化，高考在选择题、填空题侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。 1．集合问题中的数形结合 例1.（2008北京卷,理1）已知全集，集合，，那么集合等于（ ） A． B．C． D． 分析:不等式表示的集合通过数轴解答. 解:在数轴上先画出,再画出集合,取其公共部分如图所示阴影部分就是集合,故选D 答案:D 评注:对于不等式表示的集合,可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算 2.利用函数的图象解答问题 例2．(07浙江)设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ） A. B. C. D. 分析：本题为复合函数，相当于中的的值，结合函数的图象，可以求得的值域。 解：作出函数的图象如图所示，由图知 当时，函数的值域 为，而为复合函数，相当 于中的的值，所以的值域是，故选B。 答案：B 评注：本题中的复合函数要转化为原函数和的信息，结合函数的图象更为直观地找到它们之间的关系。而不必探究二次函数的解析式。 例3．（2008广东深圳中学）若的图象必不经过 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析:由知函数图象单调递增,由知把指数函数图象向下平移到原点的下方.故不过第二象限,选B. 答案:B 评注:对于指数函数的图象必须熟悉,并能够进行图象的平移变换. 例4．（宁夏区银川一中2008）函数的零点的个数是 （ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 分析：函数的零点的个数就是方程的 解的个数，要通过数形结合，画出函数的图象的交点的个数。 解： 的零点，即使，作函数 的图象和函数的图象如图所示，有两个交点，所以函数有两个 零点，故选 答案： 评注：对于象本题这样的超越函数的解的个数问题常常用数形结合的思想解答 3.利用导函数图象解答问题 例5．（2008金华一中模拟）函数的图象过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象的顶点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析：由导函数的图象及求