高中数学必修二2.3.1-2直线和平面所成的角.pptVIP

第二课时 直线和平面所成的角 2.3.1 直线与平面垂直的判定 问题提出 1.直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么？ 定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直. 定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 2.当直线与平面相交时，对于直线与平面垂直的情形，我们已作了一些相关研究，对于直线与平面不垂直的情形，我们需要从理论上作些分析. α Q P 一、点的射影 斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂 直，这条直线叫做这个平面的斜线。 斜足：斜线和平面的交点叫做斜足. 斜线段：斜线上任一点与斜足间的线段叫斜线段。 α l P 斜线 斜足 二、斜线，斜线段，斜线在平面的射影 斜线在平面的射影：过斜线l上除斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影 α l P A B 注意: ①平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而斜线段有无数条。 ②斜线上任一点在平面α内射影一定在斜线的射影上。 思考1:过一点作一个平面的斜线有多少条？ 思考2:斜线l在平面α内的射影有几条？ 思考3:两条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？ 如图，过平面α外一点P引平面α的两条斜线段PA、PB，斜足为A、B，再过点P引平面α的垂线，垂足为O，如果PAPB，那么OA与OB的大小关系如何？反之成立吗？ α O P A B 三、射影定理 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. α P A B 四、直线和平面所成的角 特别： 当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为90°；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为0° 所以直线与平面所成的角的范围是： 斜线与平面所成的角 (0°,90°) 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. D1 A B A1 C B1 C1 D O 小结（作-证-算） 1、作：作出斜线与射影所成的角。 2、证：证明所作的角为线面角。 3、算：通过由斜线段，垂线段，射影所构成的Rt⊿，计算出线面角。 在很多规则的几何计算问题中，用几何法求角，求距离等需要添加的辅助线较多且有时不容易想到，而用向量法解决这些问题相对更容易 五、补充：用向量法求角 A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2) (x2-x1,y2-y1,z2-z1) 公式复习 β a b A B C D 设异面直线a、b的夹角为θ cosθ = ? ? AB , CD cos | | = AB · CD · AB | | CD | | θ = ? ? AB , CD 或 θ =π－ ? ? AB , CD 利用两条直线的方向向量的夹角的余弦 的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。 1 求直线和直线所成的角 例2:正方体ABCD-A1B1C1D1, (1)求A1B和B1C的夹角 (2)求证:A1B⊥AC1. D C A B x y z A1 B1 D1 C1 O A B A1 B1 D C D1 C1 x y z O M 练习:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值. 2、求直线和平面所成的角 β C B θ n 设直线BA与平面β的夹角为θ， n 为平面β的法向量, A g1 n 与向量 BA 的夹角为锐角g1 当 θ= β C B A θ n g2 n 与向量 BA 的夹角为钝角g2 当 θ= 如果一个向量垂直于一个平面内的所有向量，则该向量为此平面的法向量 例1（用向量法求解）在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. D1 A B A1 C B1 C1 D O 作业: P67 练习：2.3 P74习题2.3A组：9.