[信息与通信]常工院信号与噪声分析.ppt

Rcs(τ)=Rsc(-τ) 将上式代入式（2.5 - 12），可得 Rsc(τ)=-Rsc(-τ) (2.5 - 13) 同理可推得 Rcs(τ)=-Rcs(-τ) (2.5 - 14) 式（2.5 - 13）、（2.5 - 14）说明，xc(t)、xs(t)的 互相关函数Rsc(τ)、Rcs(τ)都是τ的奇函数，在τ=0时 Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15) 于是， 由式（2.5 - 9）及式（2.5 - 10）得到 Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15) 于是，由式（2.5 - 9）及式（2.5 - 10）得到 Rx(0)=Rc(0)=Rs(0) (2.5 - 16) 即σ2x=σ2c=σ2s (2.5 - 17) 这表明x(t)、xc(t)和xs(t)具有相同的平均功率或方差（因为均值为0）。 另外，因为x(t)是平稳的，所以x(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量， 故在式（2.5 - 2）中有 取t=t1=0 时，x(t1)=xc(t1) 取t=t2=3π2ωc时，x(t2)=xs(t2) 所以xc(t1)，xs(t2)也是高斯随机变量，从而xc(t)、 xs(t)也是高斯随机过程。又根据式（2.5 - 15）可知，xc(t)、 xs(t)在同一时刻的取值是互不相关的随机变量， 因而它们还是统计独立的。 上所述，我们得到一个重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程x(t)，它的同相分量xc(t)和正交分量xs(t)也是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同。此外， 在同一时刻上得到的xc和xs是互不相关的或统计独立的。 2.5.2包络和相位的统计特性 由上面的分析可知，xc和xs的联合概率密度函数为 f(xc, xs)=f(xc)·f(xs)= 设ax,φx的联合概率密度函数为f(ax, φx)，则利用概率论知识， 有 f(ax, φx)=f(xc, xs) 根据式（2.5 - 3）和式（2.5 - 4）在t时刻随机变量之间的关系 xc=axcosφx xs=axsinφx 得到 Cosφx sinφx -axsinφx axcosφx = 于是 f(ax,φx) =axf(xc, xs)= 注意，这里ax≥0, 而φx在(0，2π)内取值。 再利用概率论中边际分布知识将f(ax,φx)对φx积分， 可求得包络ax的一维概率密度函数为 可见，ax服从瑞利分布。 同理，f(ax, φx)对ax积分可求得相位φx的一维概率密度函数为 f(φx)= 可见，φx服从均匀分布。 综上所述，我们又得到一个重要结论：一个均值为零， 方差为σ2x的窄带平稳高斯过程x(t)，其包络ax(t)的一维分布是瑞利分布，相位φx(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，ax(t)与φx(t)是统计独立的，即有下式成立： f(ax,φx)=f(ax)·f(φx) (2.5 - 23) 2.4.6正弦波加窄带高斯噪声 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。 设合成信号为 r(t)=A cos(ωct+θ)+n(t) (2.6 - 1) 式中, n(t)=nc(t) cosωct-ns