[信息与通信]第11章_循环码.ppt

循环码在性能上，具有明确的纠、检错能力，对于给定的码长n和信息位数k，已提出的各类循环码都有确定的纠、检错能力的理论计算值； 在实现上，编码和译码都可以通过简单的反馈移位寄存器来完成； 在结构上，它的循环性使得更容易用数学语言来描述。 本章将首先研究如何对循环码进行描述。 然后讨论其编码和译码方法。 接着以二元BCH码为例对其性能进行详细分析。 最后对多元BCH码、RS码和其他循环码进行简要的讨论。 定义11.1 一个(n, k)线性分组码C，若它一个码矢的每一循环移位都是C的一个码字，则C是一个循环码。 循环码是一种线性码，因此线性码的一切特性均适合于循环码；但它的特殊性是其循环性，码字集合或者说码组中任意一个码字的循环移位得到的序列仍是该码字集合中的码字，即它对循环操作满足封闭性。 例11.1 分析二进制码组{000, 110, 101, 011}, {00000, 01111, 10100, 11011}, {0000, 1101, 0111, 1011, 1110}是不是循环码。 解 看码组符不符合线性和循环的条件。 对于码组{000, 110, 101, 011}，它既是线性码又是循环码。事实上，它是对00, 01, 10, 11进行偶校验得到的码，是(3, 2)循环码。 对于码组{00000, 01111, 10100, 11011}，它是线性码但不是循环码。事实上，它是对消息序列00, 01, 10, 11进行编码得到的线性分组码(5, 2) 码。 对于码组{0000, 1101, 0111, 1011, 1110}，它尽管满足循环性但由于不是线性码，故也不是循环码。 可以建立码序列和码多项式的一一对应关系。 设码序列为 v 则它可用多项式表示为 (11.1) 将它进行i次循环左移，得 (11.2) 称 为码序列循环移位i次后的码多项式。 定理11.1 设循环码的码多项式为 v(x) = vn-1 xn-1 + vn-2 xn-2 + … + v1x + v0 循环移位i次后的码多项式为 ，则 是xn+1除多项式xi v(x)所得之余式。 证明 将要证明的命题表示为 (11.3) 由式(11.1)，有 (11.4) 将式(11.4)与xn+1相联系，有 对比式(11.2)，有 (11.5) 故式(11.3)成立。 证毕。 定理11.2 循环码C中，次数最低的非零码多项式是惟一的（实质上欲讨论生成多项式的性质） 证明 令 (11.6) 是C中次数最低的非零码多项式。若g (x)不是唯一的，则必存在有另一个次数为r的码多项式 ； 因为C是线性的，故 是一个次数小于r的码多项式，必有 ，否则与假设相矛盾，故g (x)是惟一的。 证毕。 （实质上是论证了生成多项式的次数） 定理11.3 令 是(n, k)循环码C中最低次数的非零码多项式，则常数项g0必为1。 证明 设g0=0 则 将g (x)循环右移1位或循环左移n – 1位，记为 有 它是一个次数小于r的非零码多项式，与g (x)是最低次数的非零码多项式的假设相矛盾，故g0必为1。因此 (11.7) 证毕。 （实质上是论证了生成多项式必有常数项） 定理11.4 令 是一个(n, k)循环码C中次数最低的非零码多项式，一个次数等于或小于n – 1次的二元多项式，当且仅当它是g (x)的倍式时，才是码多项式。 证明 令v (x)是一个次数小于或等于n – 1次的二元多项式，设v (x)是g (x)的倍式，则 (11.8) 再用g (x)去除v (x