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结构动力学 第6章 分布参数体系 （无限自由度体系） 第6章分布参数体系 （无限自由度体系） 前面介绍了结构动力分析中最基本方法，处理的是有限 自由度体系的动力反应问题。 真实结构，质量连续分布。描述和确定连续介质的空间 位置，需要用连续介质的空间坐标（空间位置是空间 坐标x 、y 、z的连续函数）。 结构体系实际上有无限个动力自由度，这时要精确描述 结构体系的运动状态必须用偏微分方程，其独立自变 量除时间外，还包括空间位置坐标，这时的结构体系 称为分布参数体系。 第6章分布参数体系 对于梁和杆，如果它们物理性质（质量、刚度）完全可 以用轴线的位置确定，描述这个体系的偏微分方程只 包括两个独立自变量：轴线位置坐标和时间。这种结 构称为一维结构。 对于板和壳，一般需要两个位置坐标，是二维结构。运 动方程是有三个独立自变量的偏微分方程。 对于地球介质或不均匀厚板则需要三个空间位置坐标， 这时结构是三维结构，运动方程是含四个独立自变量 的偏微分方程。 偏微分方程的求解比常微分方程困难得多，因此在介绍 具有分布体系的动力分析时，往往仅局限于对单个构 件的分析。 第6章分布参数体系 本章仅限于介绍一维梁模型，和材料力学研究的对象差 不多。虽然所讨论的力学模型简单，但它是更复杂结 构研究的基础。本章研究的内容和成果可以推广到更 复杂的框架结构动力分析中。 实际工程中的一些问题也可以简化为一维结构进行分析。 (a)隔震结构体系 (b)等效剪切梁模型 (c)等效弯曲梁模型 6.1 梁的偏微分运动方程 1、无阻尼弯曲梁 弯曲振动直梁及其微元体 取微元体竖向平衡条件： ∂V ∂2 u ∂V ∂2 u ( ) − 0 p −m + − + dx mdx V pdx V 2 2 ∂x ∂t ∂x ∂t 对微元体右截面和x轴交点取矩得： 忽略二阶小量 2 ∂M dx ∂M ∂ u dx M +Vdx +(pdx ) −(M + dx) −(mdx 2 ) 0 ∂x V 2 ∂x ∂t 2 6.1 梁的偏微分运动方程 1、无阻尼弯曲梁 ∂V ∂2 u ∂M p −m 2 V ∂x ∂t ∂x 再补充材料力学中给出的梁的弯矩和曲率的关系式： ∂2u M EI ∂x 2 由以上三式得到弯曲梁的偏微分运动方程： ∂2u(x,t) ∂2 ⎛ ∂2 u(x ,t) ⎞ m(x) 2 + 2 ⎜EI (x ) 2 ⎟ p (x ,t) ∂t