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第四章 非线性方程和方程组的数值解法 教学目标： 1.了解并掌握非线性方程的根的相关概念，如m重根、有根区间等概念； 2.掌握逐步有哪些信誉好的足球投注网站法和二分法（区间对分法）的基本思想及步骤，了解这两种方法的适用性及缺点，能应用其求解简单的非线性方程； 3.了解迭代法的分类，理解并掌握不动点迭代法的概念及相关收敛性定理，掌握全局收敛性及局部收敛性联系及区别，理解收敛阶和计算效率的相关概念的来历及含义； 4.了解迭代加速的思想，掌握加权法（松弛法）、Aitken以及Steffensen加速方法的思想及相关理论、计算公式； 5.理解并掌握Newton迭代法及求重根的修正Newton迭代法的思想、实现步骤以及相关理论； 6.理解Newton迭代法的相关变形方法的提出及实现步骤，如简化Newton法（平行弦法）、Newton下山法、拟Newton法和Steffensen方法； 7、理解割线法和Muller法提出的背景及实现步骤，掌握相关的理论。 教学重点： 1.逐步有哪些信誉好的足球投注网站法和二分法（区间对分法）的基本思想及步骤； 2.不动点迭代法的概念及相关收敛性定理； 3.迭代加速的思想及三种实现方式； 4. Newton迭代法及相关变形或改进的迭代法的思想及步骤。 教学难点： 1..不动点迭代法的概念及相关收敛性定理； 2.迭代加速的思想及三种实现方式； 3. Newton迭代法及相关变形或改进的迭代法的思想及步骤。 教学方法： 教具： §4.1 问题的提出 非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一个不可缺的内容。但是，非线性方程的求根非常复杂。本章重点讨论单个方程的求根方法，对于非线性方程组的解法仅作一些简单的介绍。这是因为单个方程的求根问题比非线性方程组更普遍。另外非线性方程组的求解是个难度比较大的问题，许多近代研究集中在这个问题上。非线性方程和方程组的数值解法主要是迭代法。 一般的非线性方程组可以写成，其中和都是维向量。当时就是单个的方程。为了叙述方便，首先引入下述定义： 定义4.1 对于一元非线性方程，若为代数多项式，即 则称为代数（多项式）方程，否则称为超越方程。 例如，为代数方程，而则为超越方程。 定义4.2 （1）若存在使，则称是方程的解或根，也称是函数的零点。 （2）若函数可分解为 ， 其中为正整数，则称是方程的重根，或称是函数的重零点。当时，称是的单根或的单重零点。 零点可能是实数，也可能是复数。 定理4.1 对于充分可微的函数，是函数的重零点的充分必要条件是： ， 定义4.3 若方程在区间内至少有一个根，则称为方程的有根区间。 通常可用逐步（次）有哪些信誉好的足球投注网站法求方程的有根区间。 定理4.2 若函数在区间上连续（即），且，则方程在内至少有一个根。 定义4.4 若在区间上只有方程的一个根，则称为方程的隔根区间。 定理4.3 若函数在区间上单调连续，且，则方程在内有且仅有一个根。 关于根的个数，由代数学基本定理知，高次代数方程的根（包括实根和复根）的个数与代数方程的次数相同；对于超越方程，可能没有根，也可能有一个或若干个根，甚至无穷多个根。 理论上已经证明，对于次数的代数方程，它的根可以用根式表示，而次数的代数方程，它的根一般不能用根式表示，亦即不能用解析表达式来表示。因此对于一般的函数方程，一般来说，更不存在根的解析表达式，而在实际应用中，也不一定需要得到求根的解析表达式，只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。 求解非线性方程的根的问题大致可分为下面三个方面： （1）根的存在性。即方程有没有根？如果有根，有几个根？ （2）根的分布，即求出有根区间。 （3）根的精确化。即在已知一个根的近似值后，设法逐步把根精确化，直到满足精度为止。 §4.2 逐步有哪些信誉好的足球投注网站法和二分法 4.2.1 逐步有哪些信誉好的足球投注网站法 假设是定义在某区域内的连续函数，在区间有且仅有一个单根，则逐步有哪些信誉好的足球投注网站法的步骤如下： （1）判断的符号：若，则；若，则不妨设。 （2）选择适当的步长，有哪些信誉好的足球投注网站一步，看的符号，若，则已找到。若则可知，这时可取或作为的近似值。若，则继续往前有哪些信誉好的足球投注网站一步，看的符号，直到与异号，则可知，其中，，这时可取或作为的近似值。 逐步有哪些信誉好的足球投注网站法的步长的选择很难恰到好处，若取得较大，则精度较差；若取得足够小，精度提高了，但计算量增加了许多。因此，如果精度要求较高的话，该方法不太经济。 例4.1 求方程的有根区间。 解：根据有根区间的定义，对方程的根进行有哪些信誉好的足球投注网站计算，结果如下表 0 1 2 3 4 5 6 符号 从上表可以得出方程的三个有根区间为，和。 4.2.2 二分法 二分法（对分法）是逐步有哪些信誉好的足球投注网站法的改进。它的基本思想是逐步将非线性方程的有根区间（或隔根区间）二分，通过判断函数值的符号，逐步对半缩小有根区间（或隔根区间），直到区间缩小到容