bézier曲线曲面的降阶逼近.docVIP

范数下Bézier曲线保端点高阶插值的一次性最佳降多阶逼近 英文版发表文件见本网页[117] 1. Jacobi 多项式 次Jacobi多项式是上关于权函数 的正交多项式，即有 (1) 这里 (2) 时Jacobi多项式退化为Legendre多项式.Jacobi多项式有以下两个基本性质: 性质1 次Jacobi多项式可写成 性质2任意一个次多项式都可用Jacobi多项式基函数唯一线性表示, 即存在唯一的个实数使得 . 2. Bernstein多项式的约束最佳降多阶逼近 我们将利用Jacobi多项式的正交性, 给出Bernstein多项式的保端点高阶插值最佳降多阶逼近的显式表示, 同时得到精确的逼近误差. 为描述这些理论结果, 我们先给出三个矩阵的定义. 定义 1 转换矩阵被定义为 (3) 其中 . 定义 2 转换矩阵被定义为 (4) 其中 定义 3 转换矩阵被定义为 (5) 其中 引理1 矩阵能把带有权函数的Jacobi多项式 转换为幂基函数 , 即 同时, 矩阵能把次Bernstein基函数转换为次幂基函数, 矩阵能把次幂基函数转换为次Bernstein基函数, 即 证. 仅证矩阵的性质.施行参数变换到Jacobi多项式. 根据性质1, 有 从而 其中 如定义1. 由此得到 同时由的表示式知当 所以是上三角阵. 证毕. 定理1. 设 是区间上的次Bernstein多项式, 为其Bézier 纵标. 再设为降阶公差. 则当且仅当不等式 (6) 成立, 其中与分别由(2)及下式 (7) 给出时, 存在次Bernstein多项式 , 它与多项式在区间两端分别具有直到 与 阶相等的导数, 且是在范数意义下的最优降阶逼近, 并且逼近误差小于. 此外, 当条件(6) 满足时, 约束降多阶逼近的Bernstein 多项式的Bézier 纵标可表为 (8) 且精确的降多阶逼近的误差可按不等式(6)的左端来求得, 这里的一些矩阵,,,, 与 分别由定义1, 2, 3所给出. 证. 因降阶多项式与原始多项式在区间两端有直到与 阶相等的导数, 所以存在一个未知的次多项式使得 引入参数变换到, 并把记为, 我们有 (9)因而要求出范数下保端点高阶插值的这个最佳降多阶逼近, 等价于使下式 取极小值. 为了达到这个目的, 应用性质2, 先把表示为关于权函数的Jacobi多项式的线性组合, 即 但应用(1), 有 因而, 利用Jacobi多项式的正交性得到 考察(9)式的两端可知, 常数与已知多项式有关, 但与降阶多项式无关, 所以为使极小, 需且只需为零. 从而次多项式的最佳降阶逼近多项式可被表为 (10) 又为了得到的表达式, 可以应用引理1, 先把误差多项式重新写为幂函数形式： (11) 另一方面, 利用引理1, 次Bernstein 多项式也能表为幂函数形式： (12) 考察(10), (11), (12), 并比较两个多项式与中每项之系数, 就得到(7). 由(7), (10), (11), (12), 并再次利用引理1, 就容易得出(8). 定理证毕. 3 Bézier 曲线的约束最佳降多阶逼近 应用定理1, 可以对次Bézier 曲线进行最佳降多阶逼近. 以平面曲线为例, 设, 对其每一个分量, 即次Bernstein多项式与, 分别求得约束的最佳降阶逼近多项式与, 则得到对的最佳降阶逼近Bézier 曲线=. 在范数下, 精确的逼近误差是 这里,是如(6)所示的对次Bernstein多项式与作降多阶逼近的最小精确误差. 例1. 对控制顶点为的5次Bézier 曲线作端点为(0,0)阶约束的降一阶逼近. 易知 分别计算得到矩阵 最后有 上式右端即为降阶逼近Bézier 曲线的控制顶点. 计算机辅助几何设计