空间角的求法复习课.doc

★考前必复资料①之二★ 立体几何专题复习：空间角的求法 一、异面直线所成的角 1.定义：直线a、b是异面直线，经过空间一交O， 分别作直线a?//a，b?//b，相交直线a?、b?所成的 锐角（或直角）叫做异面直线所成的角. 2.范围：. 3.方法：平移法、向量法 （1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角. ①（构造）平行四边形平移法； ②中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之在已知图形外补作一个相同的几何体，以于找出平行线（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量， 利用公式求出来. 利用向量计算.选取一组基向量， 分别算出 ，，代入上式； ②利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标 进而求出方向向量 . 例1.1 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为， 求AC1和CB1的夹角. 法1：中位线平移法 法2（1）：补形平移法（平行四边形平移法） 法2（2）：补形平移法（平行四边形平移法） 法3：基向量法 法4：坐标向量法 课后练习 1．1 如图，PAABCD，ABCD为矩形，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的切值 1.2 设S是正三角形ABC所在平面外的一点SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与BN所成的角的余弦值中，是的中点，求AC与D1所成角1.定义：①斜线和平面所成的角：平面的斜线与斜线在平面内 的射影所成的角即为直线与平面所成的角；②垂线与平面所成 的角为90°； ③若，则直线与平面所成的角为0°. 2.直线与平面所成角范围是. 3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角.（最小值定理） 4. 求法：几何法、公式法、向量法 （1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就所求的角，解三角形求出此角. 通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用. （2）向量法：设直线与平面所成角为，直线的方向向量 与面的法向量分别是, 则的余角或其补角的余角 即为与所成的角， . （3）利用公式：其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长. 例2.1四面体ABCS中，SA，SB，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M 为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角； （2）SC与平面ABC所成的角. （“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线.） 课后练习　２.1 长方体ABCD-A1B1C1D1 中AB=3，BC=2，A1A= 4，求AB与面AB1C1D所成的角的正弦值. 3．平面与平面所成的角 基础知识 1.定义： 二面角:由一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范围是. 注:二面角是空间图形，平面角是平面图形.在书写时不要写成”AOB为所求二面角”，而应写成”AOB为二面角的平面角”. 2.求法：几何法 向量法 （1）几何法：将二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图4（1），在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角. ②利用三垂线定理及其逆定理，图4（2）最常用，三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． ③作棱的垂面，图4（3）. 图4 另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角； （2）向量法： ①分别求出和的法向量，则二面角的大小为或—. 用此法须知：注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角；也可以利用法向量来判断：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. ②在平面内 在平面内，BDEF，且BEF分别求出，则即为二面角的大小 例3.1如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点M是侧棱的中点，，， =60°，求二面角的大小. 例3.2如图，四棱锥中，底面是矩形．且， ，，，（Ⅰ）求异面直线与所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角的正切值． 例3.3 如图，E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面