数值分析第五章-矩阵分析基础1详解.ppt

§ 5.2 初等矩阵 初等矩阵对线性方程组的研究起着重要的作用，本节介绍 一般形式的初等矩阵，它是矩阵计算的基本工具。 5.2.1 初等矩阵 定义6 设向量 ，则形如 的矩阵叫做实初等矩阵，其中 是 阶单位矩阵， * 向量 ， 为初等下三角阵。 定理5.2.1 初等下三角阵 具有如下性质： (1) ； 5.2.2 初等下三角矩阵 定义7 令向量 则称矩阵 * (3) 任何一个单位下三角阵 都可分裂成 因此，对任一非奇异下三角阵 ，都可分裂成一个非奇异 对角阵和若干个下三角阵的乘积。 (4) 左乘矩阵 的结果是从 的各行中减去第 行乘一个因子。 初等下三角阵在矩阵的满秩分解、三角分解以及解线性代数方程组的直接解法中起着重要的作用。 (2) 为单位下三角阵 ； * 5.2.3 Householder矩阵 定义8 设向量 ，且 ，称形如 为Householder矩阵，或称Householder变换、反射矩阵。 要得到Householder矩阵，只要在初等矩阵 中， 定理5.2.2 Householder矩阵 具有以下性质： (1) 矩阵 是对称阵，即 ； (2) 矩阵 是正交矩阵，即 (3) 变换保持向量长度不变，即对任意向量 ， ; ， 即可。 取向量 * (4) 设 为以 为法向量过原点的超平面，对任意的非零 向量 ，有 与 关于超平面 对称。 定理5.2.3 对任意的非零向量 ，可以适当选择合适的 向量 ，满足 ，用其构造的 矩阵可将 变换为单位向量 的常数倍，使得 其中， 是实数，并且 * 定义9 将 阶单位阵 改变第 行和第 列的四个 元素得到矩阵 5.2.4 Givens旋转矩阵 称为Givens旋转矩阵，或称Givens变换， 为旋转角。 * 是一个正交矩阵，对任意向量 ，由线性变换 ， 其中， ，可得 5.2.5 Hessenberg矩阵 定义10 若实矩阵 的次对角线以下元素均为零，即 时， ，称形如 * 的矩阵 为上Hessenberg（海森伯格）阵，或拟上三角阵。 如果次对角线元素 全不为零，则称该矩阵为 不可约的上Hessenberg阵。 定理5.2.4 对任意矩阵 ，总存在正交阵 使得 为上Hessenberg阵。 5.2.6 对角占优阵 定义11 设矩阵 ，若存在一个排列阵 ，使得 否则称矩阵 是不可约的。 其中 ，则称矩阵 是可约的， * 定义12 设矩阵 ，若 且至少有一个不等式严格成立，则称矩阵 为弱对角占优阵， 对所有不等式严格成立，则称矩阵 为严格对角占优阵。 定理5.2.5 （对角优势定理） 若矩阵 为严格对角占优阵， 或者为不可约且弱对角占优阵，则 若 * 历史与注记 阿尔斯通·豪斯霍德(Alston Scott Householder，1904–1993 )Householder 1904 年生于美国伊利诺州的洛克福特。1937 年取得了芝加哥大学博士学位之后他获得洛克菲勒基金会的 资助，在芝加哥大学从事研究， 1944年被提升为数学和生物 物理学的副教授。二战后他为美国海军研究实验室作数学顾 问，他的研究兴趣转向数值计算，不久，他又转移到位于Oak Ridge，Ten nessee 的著名的国家实验室，从事与原子能和武器有关的并行计算的研究。 他于1954～1956年间出任ACM的主席，1963—1964年又出任工业与应用 数学学会SIAM的主席。豪斯霍德1969年获Harry Goode奖，他是美国艺术 和科学院院士。1980 年获得计算机先驱奖。 Householder 的主要贡献在数据处理技术方面，他的研究领域主要是数 值分析、数值代数、生物数学，尤其是计算机在生物医学和生理学方面的应 用。1958年，他发明了“矩阵反演”(matrix inversion)，可用以当圆锥曲线 (也就是二次曲线)在n维空间中其坐标轴发生旋转时找出其基本不变式。 * 而在用最小二乘法(1east—squares)对矩阵进行近似计算时，目前常用到的一种变换法也是由豪斯霍德创造的，因而被称为Householder transformation”。此外， Householder 还是系统使用“范数”作为数值方法分析理论工具的先驱者。 关于范数的概念各种中文著作和文献都有详细的介绍，条件数的概念是20世纪40年代由图灵提出，详细资料参见文献[1]