数值分析课件第八章-数值积分课件.ppt

* * * * * * * * * * * * P170 习题七：8，9 本章作业 * 使其代数精度尽量高，并指出其代数精度。 例 设有求积公式 试确定系数 解： 令公式依次对 都精确成立，即 * 故该求积公式应为 对 有 即对 也精确成立， 但对 不能精确成立， 因此该求积公式具3次代数精度。 解得 * 若已知函数f(x)在[a,b]上一组节点值a≤x0 x1…xn≤b 以及函数值 f(x0)，f(x1) ,…, f(xn)，构造f(x)的n次Lagrange插值多项式： 插值型求积公式 则 若记 * 则 －－插值型求积公式 Ak为求积系数。 余项： （1）当f(x)取次数≤n的多项式时，R≡0，即含n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。 注： （2）特别地，当f(x) ≡1时，有 * Newton-Cotes公式的导出 设函数f(x)∈C[a,b]，将积分区间[a,b]n等分，步长h=(b-a)/n，节点xk=a+kh为等距节点。 Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式。 由插值型求积公式 知 * 可得 引进变换x=a+th，则有dx=hdt， xk- xj=(k-j)h ， x- xj=(t-j)h ， * 所以插值型求积公式化为 称Newton-cotes公式，式中ck(n) 称柯特斯系数。 记 * * * 2.梯形(trapezia)公式及其余项 Cotes系数为 求积公式为 * 上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为 梯形公式的余项为 即 几何意义如右图： * 第二积分 中值定理 梯形(trapezia)公式具有1次代数精度。 故 * 3.Simpson公式及其余项 Cotes系数为 求积公式为 * 上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式。 记为 Simpson公式的余项： Simpson公式具有3次代数精度。 即 * 4.Cotes公式及其余项 Cotes系数为 * 求积公式为 上式称为Cotes求积公式，也称五点公式。 记为 Cotes公式的余项： Cotes公式具有5次代数精度。 * 注：n?8时，Cotes系数出现负数，会引起误差增大，计算不稳定。 因此，在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式，而是采用低阶复合求积法。 Cotes系数表： n Ck(n) 1 2 3 4 5 8 1/2 1/2 1/6 4/6 1/6 1/8 3/8 3/8 1/8 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288 ………… 989/28350 5888/28350 -928/28350 10496/28350 -4540/28350 … * 偶阶求积公式的代数精度 研究Simpson公式，是二阶Newton-Cotes公式，因此至少具有二次代数精度。 将f(x)=x3代入Simpson公式： 直接对f(x)=x3求积，得 有 I2( f )= I ，又易证Simpson公式对f(x)=x4不能够准确成立。 故Simpson公式具有3次代数精度。 * 定理： 当n为偶数时，Newton-Cotes公式至少具有n+1次代数精度。 证明： 只要验证当n为偶数时，公式对 f(x)=xn+1余项为零即可。 由余项公式 又 故 一般地，可以证明下述论断： * 此时，被积函数 是奇函数，故R[f]=0。证毕。 若n为偶数，则n/2为整数，再令t=u+n/2，得 引进变换x=a+th，则xj=a+jh， * * * * * 8.3 复合求积公式 * 将[a,b]n等分，h=(b-a)/n，在每个子区间[xk, xk+1] (k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，得 1、复合梯形公式 －－复合梯形公式 记 * 复合梯形公式的余项： 由于 即有 由 得 设被积函数f(x)∈C2[a,b]， * 将[a,b]n等分，在每个子区间[xk, xk+1] (k=0,1,…,n-1)上采用Simpson公式，若记xk+1/2= xk+h/2，则可得复合Simpson公式形式为 2、复合Simpson公