15版：2.5从力做的功到向量的数量积(一)(创新设计).pptVIP

[学习目标] 1．了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功． 2．掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义． 3．会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直． [知识链接] 1．如图，一个物体在力F的作用下产生位移s， 且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的 功W是多少？ 答　W＝|F||s|cos θ 2．向量的数量积与数乘向量的区别是什么？ 答　向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向． [预习导引] 1．两个向量的夹角 (1)已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b， 则 称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉， 并规定它的范围是0≤〈a，b〉≤π. 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉． (2)当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b. 2．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 . (3)射影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的射影是|a|cos θ，向量b在a方向上的射影是|b|cos θ. 3．数量积的几何意义 a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos θ的乘积． 要点一　平面向量数量积的基本概念 例1　下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线?a·b＝|a||b|；④|a||b|a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦非零向量a，b满足：a·b0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是________． 答案　①②⑥ 解析　由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线?a·b＝±|a||b|，所以③错； 对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错； 对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错； a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确； 当a与b的夹角为0°时，也有a·b0，因此⑦错； |b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故⑧错． 综上可知①②⑥正确． 规律方法　对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等． 跟踪演练1　已知a、b、c是三个非零向量，则下列问题中真命题的个数为 (　　) ①a·b＝±|a|·|b|?a∥b；②a、b反向?a·b＝－|a|·|b|；③a⊥b?|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|?|a·c|＝|b·c|. A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　①∵a·b＝|a||b|cos θ，∴由a·b＝±|a||b|及a、b为非零向量可得cos θ＝±1，∴θ＝0或π.∴a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题． ②若a、b反向，则a、b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|·cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题． ③当a⊥b时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故命题③是真命题． ④当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故命题④是假命题． 综上，在四个命题中，前3个是真命题，第4个是假命题． 要点二　平面向量数量积的基本运算 例2　已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b. 解　①当a∥b时， 若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， 规律方法　(1)非零向量共线的充要条件是a·b＝±|a|·|b|，因此，当a∥b时，有0°或1