二-微分的几何意义.pptVIP

定义: 若函数 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 二、微分的几何意义 一、微分的概念 §2.5函数的微分 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用 一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x 的线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时, 变到 边长由 其 的微分, 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 定理: 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点 可微, 定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 定理 : 函数 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 “充分性” 已知 即 在点 的可导, 则 注: 时 , 所以 时 很小时, 有近似公式 与 是等价无穷小, 当 故当 例1 求函数y?x2在x?1和x?3处的微分? dy?(x2)?|x?1Dx?2Dx? 函数y?x2在x?3处的微分为 dy?(x2)?|x?3Dx?6Dx? 例2 求函数 y?x3当x?2? Dx ?0?02时的微分? y?f(x)在点x0可微?Dy?ADx?o(Dx)? dy= f ?(x0)Dx ? 解 函数y?x2在x?1处的微分为 解 先求函数在任意点x 的微分? dy?(x3)?Dx?3x2Dx? 再求函数当x?2? Dx?0?02时的微分? dy|x=2, Dx=0.02 =3?22?0.02=0.24? =3x2| x=2, Dx=0.02 当|Dx|很小时? |Dy?dy|比|Dx|小得多? 因此? 在点M的邻近? 我们可以用切线段来近似代替曲线段? Dy是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0? f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当x从x0变到x0+Dx时? 二、微分的几何意义 则有 从而 导数也叫作微商 自变量的微分, 记作 记 d(xm)?m xm?1dx d(sin x)?cos xdx d(cos x)??sin xdx d(tan x)?sec2xdx d(cot x)??csc2xdx d(sec x)?sec x tan xdx d(csc x)??csc x cot xdx d(a x)?ax ln adx d(e x)?exdx (xm)??m xm?1 (sin x)??cos x (cos x)???sin x (tan x)??sec2 x (cot x)???csc2x (sec x)??sec x tan x (csc x)???csc x cot x (a x)??ax ln a (e x)?ex 微分公式: 导数公式: 1.基本初等函数的微分公式 三、微分的基本公式和运算法则 微分公式: 导数公式: 2、 微分的四则运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 微分形式不变 3. 复合函数的微分 则复合函数 在求复合函数的导数时? 可以不写出中间变量? 例3 y?sin(2x?1)? 求dy? ?2cos(2x?1)dx? ?cos(2x?1)?2dx ?cos(2x?1)d(2x?1) dy?d(sin u) ?cos udu 若y?f(u)? u?j(x)? 则dy?f ?(u)du? 解 把2x?1看成中间变量u? 则 例4 解 例5. 设 求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 例6. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性. 四、微分在近似计算中的应用 1.函数的近似计算 当 很小时, 使用原则: 得近似等式: 特别当 很小时,