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单因素实验 一、方差分析引例 二、方差分析的基本概念 三、方差分析基本原理 四、方差分析的几点说明 一、方差分析引例 产品开发工程师考虑能使一种新的合成纤维的抗拉强度增加的方案，这种纤维织出的布是用来缝制男士衬衫的，从以前的经验得知，抗拉强度受到棉花在纤维中所占的百分率的影响，开始，他预测增加棉花含量会增大强度，他还知道，如果成品布须具有他所希望的质量特性的话，棉花含量应该在10%到40%之间，工程师决定检验棉花百分率为五个水平的样本，水平是15%，20%，25%，30%，35%。同时，还 对每个棉花含量水平进行五次试验，于是得到了抗拉强度观测值表。我们知道该实验是单因素五个水平重复五次的实验。从表中以及散点图中，得知， 第一：棉花含量影响抗拉强度 第二：含30%左右的棉花强度能使成品布的抗拉强度达到最大值 可是我们想要检验的是5个水平的棉花百分率的平均强度之间的差别，会检验五个均值都相 等的等式，使用t检验，这样就会有10对可能的配对，假设接受原假设的概率是1-a=0.95，各假设之间是独立的，则接受10个原假设的概率就是 二、方差分析的基本概念 （一）方差分析的定义 就是比较不同实验条件下样本均值间的差异。例如研究几种药物对某一种疾病的疗效，不同饲料对牲畜体重增长的效果等等。就是利用试验观测值总偏差的可分解性，将不同条件所引起的偏差与试验误差分解开来，按照一定的规则进行比较，以确定条件偏差的影响程度及其相对大小。 （二）方差分析中的术语 因素与处理 水平与水平数 重复与重复数 因素的主效应和因素间的交互效应 条件误差与实验误差 （三）方差分析的分类 纯方差分析和协方差分析 单因素方差分析、双因素方差分析以及多因素方差分析 全面试验、非全面试验和系统分组试验 固定效应模型、随机效应模型和混合效应模型 把试验中由于因素水平的选取方法的不同带来差异的实验区分为不同的效应模型。 当实验中所有被考察因素的考察水平是明确地选定的，即其效应都是固定的，该模型的方差分析得出的推断仅适用于因素实际的水平。 当实验中所有被考察因素的考察水平是随机地选取的，及其效应都是随机的，该方差分析的推断适用于所研究因素的全部水平。 当实验中被考察的因素多于两个，它的部分效应是固定的，另外部分又是随机的,即混合效应模型 三、方差分析的基本原理 为了简单说明问题，只分析固定效应模型 用 代表第i中处理下所得到的第j个观察值， 用线性统计模型 表示 其中i=1,2…a，j=1,2…n 表示所有处理的共同参数，叫总均值； 第i种处理的唯一的一个参数，叫处理效应，也定义为总均值的偏差 ； 是随机误差 我们的目标是要检验各处理或水平对实验有无影响并去估计它们的影响程度。 提出原假设 另外一个等价的假设 方差分析来源于把总变异性分解为它的分量，总平方和 其中 i=1,2，….a N=an 于是 由无偏性可以证明出 处理均值之间没有差别时，处理的均方误差和随机误差的均方误差都可以用来估计总体方差。 于是检验处理均值之间是否有差异可以用比较 有 所以方差分析是一种检验同方差的若干个正态总体的均值是否相等的统计分析方法。 单因素方差分析的一般步骤： 第一：提出原假设和备择假设 第二：计算各个平方和和各自的自由度，算出 F统计量的值 第三：查临界值 第四：判断 第五：列方差分析表 单因素试验的随机效应模型的a个水平是在总体 随机选取的，平方和的分解式还是一致的，检验 关于各处理水平效应的差异的假设是没有意义的 所以，检验 四：方差分析的几点说明 （一）方差分析的基本假设条件 （二）方差分析与方差检验 （三）方差分析的线性变换 （四）多重比较 （五）样本量的原则 （六）方差分析的回归分析方法 （七）方差分析的非参数方法 （八）重复度量 （一）方差分析的基本假设条件 第一：正态性 模型中的误差满足均值为0，方差为 的正态分布，而检验正态性假设有残差直方图法和正态概率图法。 第二：方差齐性 检验方差齐性的方法有： 巴特莱法 极差比值法 平均极值法 （二）方差分析与方差检验 方差分析是各正态总体均值齐性的一种统计检验 方法，而方差检验是各总体方差齐性的各种统计 检验方法的总称， （三）方差分析的线性变换 由于受到观测值的计量单位的不同和观测值数目 多少的影响，在进行方差分析时可能造成计算工 作量的大幅增加，为了便于统计量F值的计算， 可以对原数据进行适当地线性变换，也就是 对于多因素场合、系统分组场合，甚至对于重复 数不等试验场合，检验统计量都不会