实变函数教案-（三）.pptVIP

第四节 不可数集 1 不可数集的存在性(区间[0,1]是不可数集) 数的进位制简介 十进制小数 相应于 对[0,1]十等分 二进制小数 相应于 对[0,1]二等分 三进制小数 相应于 对[0,1]三等分 不可数集的存在性的另一种证明 2 连续势集的定义 连续势集的性质（并集） 连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集 5 可数势与连续势 6 基数的运算 对一些记号的说明 第五节 半序集 1 半序集 半序集定义 例  ⑴ 是一半序集. ⑵ 是一半序集.  2 Zorn引理与选择公理 对选择公理的说明 利用选择公理，Banach在1924年证明了分球定理，即一个闭球U可分解成两个互不相交的集合A，B且U与A可 由相同多的有限多个互相合同的子集并成，U与B可由相同多的有限多个互相合同的子集并成；粗略来说即可把一个球U分解成两个与U具有同样体积的球A和B。（见：王世强《数理逻辑与范畴论应用》） 选择公理的说明 通俗讲，假如有无限双鞋子，则我们有一规则，从每双鞋子中取出左脚穿的鞋子，其总体构成一集合；但若是无限双袜子，由于袜子不分左右，所以就有多种选择，要承认这种成员不确定的集合存在，就要引用选择公理。数学中许多重要定理的证明都需要用到选择公理，如Lebesgue不可测集的存在，拓扑空间紧性 的Tychonoff定理等。注：关于选择公理的一些等价命题，可参见《一般拓扑学》（J.L.Kelly p34） * * 第一章 集合 [ ][ ][ ] 0 1/3 2/3 1 证明：假设［0,1］是可数集,则 [0,1] 可以写成一个无穷 序列的形式： [ ][ ][ ] 0 1/3 2/3 1 说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如 0.2000000… 0.1999999… （十进制小数） 第一次十等分确定第一位小数 第二次十等分确定第二位小数 证明：假设（0,1）是可数集,则 （0,1） 可以写成一个无穷 序列的形式： 把每个数写成正规小数（不能以0为循环节） 令x=0.a1a2a3a4… 其中 则得到矛盾，所以 (0,1)是不可数集。 定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集， 其势记为 ， 显然： 例：1）R~ (0,1) ~ [0,1] ~ [0,1) ~ R+~ a,b (ab) 2）无理数集为连续势集 （无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多） 3 连续势集的性质（卡氏积） （1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集 1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证 明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年， 他证明了一一对应关系是存在的，从而说明 Rn具 有连续基数 ，他当初写信给Dedekind说： “我看到了它，但我简直不能相信它”. 推论 平面与直线有“相同多”的点 ( ]( ] ( ] 0 1 2 n-1 n ( ]( ] ( ] 0 1 2 n-1 n y 4 无最大势定理 从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合. 此证为对角线方法，与(0,1) 是不可数集的证明比较。 　　尽管 Cantor 在1883年就证明了这个定理，但直到1899年 Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的 Cantor 的最大基数悖论. 因此Cantor在1899年给 Dedekind 的一封信中曾指出,人们 要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合