第三章--固体物理.pptVIP

各个格波可能具有不同的声子数，在一定温度的热平衡态，一个格波的平均声子数有多少呢？ 不考虑声子间的相互作用，故可把声子视为近独立子系，这时玻色－爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的。 与上式比较可得 利用等比级数求和公式、求导、整理可得 定容比热的定义为单位质量的物质在定容过程中，温度升高一度时，系统内能的增量，即 则定容比热为 假定晶体中所有原子都以相同频率独立地振动。3NS个原子组成的晶体振动内能U(T) 则比热成为?E和温度T的函数 把晶体视为各向同性的连续弹性媒质。设晶体是N个初基原胞组成的三维单式各子(s＝1),仅有3支声学格波。并设它们的波速都相同。因而三支格波的色散关系均是线性的 ?＝?pq 等能面为球面。 引入德拜温度?D ??D＝KB?D （二）高温情况 (一)、实验定律 1. 杜隆-珀替定律：对确定的材料，高温下的比热为常数，摩尔热容为3R （R为气体普适常数）。 2. 德拜定律：低温下的固体比热与T3成正比。 2 .与德拜定律比较 （三）低温情况 低温时 ， , 2 .与德拜模型比较 式中的积分上限可近似取为无穷大，则积分成为 简谐近似→独立的格波→独立的谐振子→声子间无互作用→T不变时，同ω的 不变。 解释了比热（尤其是低温下比热）。但不能解释热膨胀（势能展开式只取到平方项，势能W－r图中则为左、右对称的抛物线，左右振动的平均值仍为0。若取到高次项，左、右不对称，当温度高时，热振动幅值大，新的平衡点沿AB线变化产生膨胀）。 势能取到高次项后： 1.原子运动方程不是线性微分方程； 2.原子状态的通解不再是特解的线性叠加； 3.交叉项不能消除； 4.格波间有互作用； 5.声子相互作用（碰撞、产生、湮灭）。 热膨胀系数 自由能 对可逆过程, 自由能F、体积V、熵S、温度T、压强P间满足 dF= dU－SdT－dU－dW ＝－SdT－PdV 故晶格自由能可写成 F＝ U0（V）＋UL —TS ＝ U0（V）＋FL 式中FL代表晶格振动对自由能的贡献。按统计物理 FL＝－kTlnZ 其中，Z为晶格振动的总配分函数。 在简谐近似下，由NS个原子组成的晶体的晶格振动可成为3NS个独立的谐振子(独立的格波)所组成的体系，故晶格振动体系的配分函数应是3NS个谐振子配分函数的乘积： 上式又可写成 对上式求导，得 简谐近似下：ω不是体积V的函数 γ＝0 αv→0 所以αv是非简谐效应。 1、αV Cv 2、αV是温度T的函数（因为CV，V，均是T的函数）。 低温时，CV T3 αv随T变化迅速。 γ和晶体的非简谐效应有关，随温度稍有变化。对许多固体，可把视为常数。 式中是第j支格波中波矢为q、频率为的格波在温度T时的平均能量。同时引入格林艾森（Grureisen）参量 由于固体热膨胀系数不大，我们选某一温度T0为参考温度（例如选T0=0K），T0时晶体平衡体积为V0，温度T时的体积V与V0间有一微小变化，把在V0处展开，只取前二项则有 式中 ，为体弹性模量。把上式代入，得 式中：V0：参考温度（可取T＝0）时固体的平衡体积。 在这里，认为 ,与 相关的项较小,可忽略。 由此可知，由于非简谐效应的存在，γ≠0，αV≠0。 而晶体定容热容为晶体晶格振动内能对温度的微商，即 得 称为格林爱森定律 讨论： 考虑一个一维单原子链,晶格常数为a,晶格振动的简正模式: 所有的原子都有位移,总动量应等于所有原子的位移时间微商(即对s求和)利用公式 可得: ∵L=na ∴  ∴P=0  这就说明格波无物理动量,它的总动量为零。 在确定的温度T下，频率均为ω的N个格波的平均能量 （这里的N并不是晶体的格波总数） 的声子在同ω的格波间均可存在，某一ω的格波具有声子数n的状态，满足一定的几率分布。可理解为声子在格波间可跳跃。 其中：N—频率为ω的格波总数 Nn—频率为ω，能量为En(即声子数为n)的格波数， 由玻尔兹曼统计 其中：分母为配分函数 gn：能量为En的相格数，即能量En的简并度。 设： gn＝1 因为 其中 意义： 频率为ω的格波温度为T时的平均声子数