第八章-因子分析.pptVIP

二、Q型主因子载荷矩阵及主因子个数 设相似系数矩阵Q的特征值γ1≥γ2≥…γp+1…≥γn 对应的特征向量为V1≥V2≥…Vp+1…≥Vn。如果选定前p个主因子，那么可以得到与R型主因子载荷类似的Q型主因子载荷矩阵为: 相应的Q型因子分析模型为： 1. 主因子载荷矩阵 2.主因子个数 用Jacobi法可求出相似(相关)系数矩阵的全部特征值和单位特征向量。若n个特征值从大到小排列为λ1,λ2,…,λn, 计算特征值累计百分比： 然后根据C确定主因子数p。 §3 方差最大正交旋转与因子得分 一、R型因子分析方差最大正交旋转 确定了p 个主因子后，为便于解释主因子的地质意义，还要对主因子轴进行旋转,使第j个公因子的代表性变量在fj轴上的系数等于或趋近于1，在其它公因子轴上的系数等于或趋近于0。 1.方差最大正交旋转的实现方法 从数学上看,上述即对主因子矩阵A1实施正交变换。常用的方法是方差最大正交旋转,这种旋转方法使p个因子保持彼此正交,并且使因子载荷矩阵中的各因子载荷平方后的方差达最大。对于R型因子载荷矩阵A1来说,对因子fj的简化效果,用因子载荷平方的方差进行描述: 当V 达到最大时，p个因子都得到了最优简化。 (9-8) 其中bij是经过正交旋转后的因子载荷矩阵B的元素,为避免负值取bij2。若Vj为最大,即第j个因子得到了最优简化,此时第j个公因子的代表性变量在fj轴上的系数等于或趋近1,而在其他公因子轴上的系数等于或趋近于0。对p个因子的简化效果用因子载荷平方的方差之和进行度量： 考虑到各个研究对象的公因子方差间的差异,可以用(bij2/hi2)代替bij2,并对式(9-8)两边乘以m，记为： (9-9) 实际是要求V*达到最大。于是问题归结为求一个正交矩阵Tp×p, 使B=A1T 满足V* 为最大的条件。 对于因子平面fg fq可以对A1作如下正交变换: 1 . . . cosθ -sinθ . . . sinθ cosθ . . . 1 0 0 Tgq= g q g q B中的元素分别为： 对A1进行一次正交旋转变换,相当于对因子平面fgfq旋转了一个角度θ,每次旋转θ必须满足使式(9-9)的值为最大,得到矩阵: 对于选定的p个主因子,必须对A1中所有p列配对旋转,总共需要旋转p(p-1)/2次,全部旋转完毕得到载荷矩阵: (9-10) 由B2计算出V2* 重复循环旋转，可以得到一个有界序列： V1*≤V2*≤… 对于任意小正数ε，当|Vk*-Vk+1*|ε时,结束计算,最后得到: 经过一个循环旋转得到B1 ,由此可按式(9-9)计算V1*。 在上个循环旋转的基础上，从B1出发完成下个旋转循旋转得到B2, 即: 前面介绍了实现方差最大正交旋转的的基本思想，但在任何一次旋转变换中，都涉及旋转角度的问题。确定旋转角度θ的具体步骤如下： 2.旋转角度(不讲) (1)把式(9-10)代入式(9-9)，得到函数V*(θ); 式中: ; ; ; ; (2)求V*对θ的一阶导数并令其为0，可以解得: (9-11) (3)将函数V*(θ)展开化简，剩下包含sin4θ、sin22θ 的项，使V*(θ)成为以π/2位周期的函数，因而4θ在π/2范围内，通常在-π/4 ~π/4之间。 (4)由V*对θ的二阶导数小于0，可得： 由(9-12)可知,θ与E同号。 Q型因子分析方差最大正交旋转与R型中的旋转方法类似,不同之处是因子载荷矩阵A1=(aij)n× p，因此,只要将上述公式中的m改为n即可。　　　　　　　　 (9-12) 二、因子得分 因子分析是将变量(或样品)表示为公因子的线性组合。当然,也可以将公因子表示为变量(或样品)的线性组合,即: (9-13) 称fj为因子得分函数,表示对原