计算方法 习题二 答案.docxVIP

习题二1、利用二分法求方程f(x)=-2x-5=0，在内根的近似值，并指出误差。解：f(2)=-10 f(3)=190 f(2).f(3)0f’(x)=3-2在xf’(x) 0所以在上必仅有一根x=2 f(2)=-1 -x=3 f(3)=16 +x=2.5 f(2.5)=5.625 +x=2.25 f(2.25)=1.890625 +x=2.125 f(2.125) +x=2.0625 f(2.0625) -x=2.09375 f(2.09375) -x=2.109375 f(2.109375) +x=2.1015625 f(2.1015625) +所以x==2.097656252、证明方程1-x-sinx=0在内有一个根，使用二分法求误差不大于的根。解：令f(x)=1-x-sinxf(0)=1f(1)=-sin1f(0).f(1)0f’(x)=-1-cosx0在恒成立所以1-x-sinx=0在内恒有一个根n-113.289所以n=14n f()符号0 0 1 0.5 +1 0.5 1 0.75 +2 0.875 1 0.9375 +..143、能不能用迭代法求解下列方程，若不能时，将方程改写成能用迭代法的形式。（1、）x=(cosx+sinx)/4 (2)x=4-解：（1、）f(x)=x=(cosx+sinx)/4f’(x)=1对x任何数恒成立所以可用迭代法设=0，则=0.25=0.2511=0.2511所以x=0.251（2、）f(x)=4-f’(x)=x.0在x为任意数不恒成立所以不能用迭代法令x==0=2=1=|(x)|=|-|对x(1,2)4、为求方程--1=0在=1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。（1、）x=1+，迭代公式=1+（2、）=1+，迭代公式= (3、)，迭代公式=试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。解：（1、）|(x)|=|-|1，在=1.5附近收敛（2、）|(x)|=||1，在=1.5附近收敛 (3、)|(x)|=|-|1，在=1.5不满足局部收敛条件用（2）K 0 1.51 1.481242 1.472713 1.468824 1.467055 1.466246 1.465887 1.465718 1.465639 1.46560所以x=1.4665、应用牛顿法解方程-a=0，到处求立方根的近似公式。解：f(x)=-a=0，则为方程f(x)=0的根，且f’(x)=3所以=-=6、用牛顿法求-3x-1=0在x=2附近实根的近似值，精确到四位有效数字。解：f(x)=-3x-1=0f’(x)=3-3=-==2=1.8889=1.8795=1.8794=1.8794所以x=1.8797、用割线法求-3x-1=0在x=2附近实根的近似值，取=2，=1.9，保留四位有效数字。解：=2，=1.9 f(x)=-3x-1=-()=1.8811=1.8794=1.8794所以x=1.8798、应用牛顿迭代法于方程f(x)=1-=0，到处求的迭代公式，并用此公式求的值。解：f’(x)==令=10=10.6521=10.7231=10.7238=10.7238所以近似值10.72389、给定函数f(x)，设对于一切x,f’(x)存在且0mf’(x)M，证明对于范围0内任意选定的参数，迭代格式=-f(),（k=0,1,2…）由任初值产生的迭代序列{}均收敛于f(x)=0的根。证明：(x)=x-f’(x)(x)=1-f’(x)因为 0mf’(x)M 0所以-11-f’(x)1所以|(x)|L110、研究求的牛顿公式，=(+) （0,k=0,1,2…）,证明对于一切k=1,2…，，且序列是单减的，从而迭代过程收敛。证明：x=(x+)所以-=()因为所以0所以-0所以序列是单减的11、已知x=(x)在内只有一个根，但|(x)|k1,x(a,b),试讨论如何将x=(x)化为适于迭代求解的形式。解：由x=(x)在内只有一个根所以起反函数必然存在当对xf((x))两边求导1=(x)所以(x)=当x(a,b)时，||1所以|(x)|=1所以收敛