第十四章-对策论.pptVIP

矩阵对策的解法 1.优超原则化简,若有鞍点,则为纯矩阵对策. 2.若没有鞍点,赢得矩阵为2×2阵.用公式法 3.赢得矩阵为2×n,或m×2阵.用图解法 4.方程组法 5.线性规划法 3.2 线性规划法 定义14-3:对给定的矩阵对策 G = S1,S2;A 则对策G*= S1*,S2*;E 称为对策G混合扩充。 纯策略是混合策略的一个特例。例如：局中人Ⅰ的纯策略 等价于混合策略 其中， 定义14-4:设G*= S1*,S2*;E 是对策G混合扩充，如果有 max min E(X,Y)= min max E(X,Y) X? S1* Y ? S2* Y ? S2* X? S1* 则称这个公共值为对策G在混合意义下的值，记为V*G，而达到V*G 的混合局势（X*，Y*）称为对策G在混合策略意义下的解，而X*和Y*分别称为局中人I，II的最优混合策略。 定理14-2：矩阵对策 G = S1，S2；A 在混合策略意义下有解的充分必要条件是： 存在混合局势（ X*，Y*），使得对一切 X? S1* Y ? S2*均有 E（X，Y*） ? E（X*，Y*） ? E（X*，Y） 定理14-3：对给定的矩阵对策 G = S1，S2；A 设X*? S1* Y* ? S2*则混合局势（ X*，Y*）是G的解且V=VG*的充分必要条件是： 对一切 i,j均有 E（ ?i， Y*） ? V ? E（X*， ?j ） 证明：必要性：因为纯策略是混合策略的特例，故成立 充分性：当局中人取纯策略 时， 当局中人取纯策略 时， 则 已知 E（ ?i， Y*） ? V ? E（X*， ?j ） 所以 故 定理3把无限个不等式的证明转化为对有限个（mn)个不等式的证明问题。 定理14-4：设 ，则 为 的解的充要条件：存在数 使得 分别是不等式组（ Ⅰ ）和（Ⅱ）的解。 证明：由定理3，（ X*，Y*）是G的解且V=VG*的充分必要条件是：对一切 i,j均有 E（ ?i， Y*） ? V ? E（X*， ?j ） 即（ Ⅰ ）和（Ⅱ）成立。 定理14-5：任意一个给定的矩阵对策在混合策略意义下一定有解。 矩阵对策的解可能不只一个，但对策值是唯一。 证明：考虑两个线性规划问题 这是两个互为对偶的线性规划问题（P403）， 是问题（D）的可行解 故（P）,(D)必有最优解。 是问题（P）的可行解 设最优解分别为 ，且 。即存在 有 即： E（ ?i， Y*） ? V* ? E（X*， ?j ） 定理7：对两个矩阵对策 ，其中 为常数，则有 分别是局中人Ⅰ、Ⅱ的最优策略集 定理8：对两个矩阵对策 ，其中 为常数，则有 定理9：设 为一矩阵对策，且 则： 分别是局中人Ⅰ、Ⅱ的最优策略集 定义