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高级生物统计 第十章 因子分析 因子分析 介绍： 1、因子分析的概念 2、因子分析的过程 因子分析的概念 由于实测的变量间存在一定的相关关系，因此有可能用较少数的综合指标分别综合存在于各变量中的各类信息，而综合指标之间彼此不相关，即各指标代表的信息不重叠。综合指标称为因子 研究相关阵或协方差阵的内部依赖关系，将多个变量综合为少数几个因子 把这个数据的N个变量用一两个综合变量 特征值1 累计贡献率0.8 R型分析和Q型分析 R型分析：研究指标之间的相关关系，通过对变量的相关阵或协差阵内部结构的研究，找出控制所有变量的公共因子 Q型分析：研究样品之间的相关关系，通过对样品的相似矩阵内部结构的研究，找出控制所有样品的几个主要因素。 因子分析的作用 一.寻求几个控制所有变量的公共因子，因子数量少于变量数量 二.所得到的公共因子进一步分析（聚类分析） 因子分析与主成分分析的区别 1.主成分分析是通常的变量变换，因子分析需要构造因子模型，把一个变量看成由公共因子和特殊因子构成，解释变量的内部关系 2.主成分的个数与变量个数相等，是将一组相关的变量转化为不相关的分量，因子的个数少于变量个数 因子分析模型 一般地，设X=(x1, x2, …,xp)’为可观测的随机变量，且有 f=(f1,f2,…,fm)’为公共（共性）因子(common factor)，简称因子(factor) e=(e1,e2,…,ep)’为特殊因子（specific factor） μ=(μ1,μ2,…,μp)’为随机变量x的总体均值 A=(aij)p*m为因子负荷（载荷）（factor loading）矩阵 通常先对x作标准化处理，使标准化得到的新变量均值为零，方差为１．这样就有 假定（１）fi的均数为０，方差为１； （２）ei的均数为０，方差为δi； （３） fi与ei相互独立． 则称x为具有m个公共因子的因子模型 因子载荷（负荷）aij是随机变量xi与公共因子fj的相关系数。 设 称gj2为公共因子fj对x的“贡献”，是衡量公共因子fj重要性的一个指标。 因子分析的步骤 输入原始数据xn*p，计算样本均值和方差，进行标准化计算（处理）； 求样本相关系数矩阵R=(rij)p*p； 求相关系数矩阵的特征根λi (λ1,λ2,…,λp0)和相应的标准正交的特征向量li； 12个玉米杂交种10项指标观察值： 10项指标的相关系数矩阵 相关系数矩阵的特征向量 相关系数矩阵的特征值及累积百分数 因子载荷矩阵A=(U1* ,u2* ,…….).Hi2=A112+A122+A132+A142+A152 Ai2为第i个公共因子对X1变量的方差。Hi2为各公共因子对变量X1的方差总和 X1=0.786Y1-0.1279Y2+0.1721Y3+0.1846Y4+0.4549Y5 X2= X3= X4= X5= X6= X7= X8= X9= X10= 应用 数据集SOCECON为洛杉基12个地区统计的五个社会经济指标：人口总数（POP），教育程度（SCHOOL），就业数（EMPLOY），服务业人数（SERVICES），中等的房价（HOUSE）。用FACTOR过程可以进行主分量分析。 DATA SOCECON; TITLE 五个经济指标的分析; INPUT POP SCHOOL EMPLOY SERVICES HOUSE; CARDS; 5700 12.8 2500 270 25000 1000 10.9 600 10 10000 3400 8.8 1000 10 9000 3800 13.6 1700 140 25000 4000 12.8 1600 140 25000 8200 8.3 2600 60 12000 1200 11.4 400 10 16000 9100 11.5 3300 60 14000 9900 12.5 3400 180 18000 9600 13.7 3600 390 25000 9600 9.6 3300 80 12000 9400 11.4 4000