2012综合题六(最值问题综合).docVIP

2012综合题六（最值问题综合） 1.如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线的对称轴为） 解：设抛物线的解析式为， 依题意得：c=4且 解得 所以 所求的抛物线的解析式为 （2）连接DQ，在Rt△AOB中， 所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =?7 – 5 = 2 因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB 即 所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ， 所以t的值是 （3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=90 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO 即 所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，） 设直线AQ的解析式为则 由此得 所以直线AQ的解析式为 联立 由此得 所以M则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。 2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点 A点在的左侧，B点的坐标为（3，0OB＝OC ，tan∠ACO＝．．过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在抛物线上是否存在这样的点F，使以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点F的坐．图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P抛物线上，APG的面积最大APG的最大面积 ……………………2分 解得： ……………………3分 所以这个二次函数的表达式为： ……………………3分 （2）存在，F点的坐标为（2，－3） ∴E点的坐标为（－3，0） ……………………4分 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四在点F，坐标为（2，－3） ．……………8分 设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ． ……………………9分 当时，△APG的面积最大 此时P点的，． ……………………10分 3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）方程x2－10x＋16＝0，且抛物线的对称轴是直线x＝－2． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EFAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（）在（）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由． 解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　 点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC 点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8） （2）点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上 c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋，得 　解得所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8　AB＝，OC＝8S△ABC ＝×8×8（）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， OA＝6，OC＝8，AC＝10 EF∥AC　BEF∽△BAC ∴＝　　即＝EF＝过点F作FGAB，垂足为G，则sinFEG＝sin∠CAB＝ ∴＝　∴FG＝＝8－m ∴S＝SBCE－SBFE＝（8－m）×8－（8－m）