2013年北京市东城区高三数学一模理科试题及答案.docVIP

北京市东城区2012-2013学年度第二学期综合练习（一） 高三数学 （理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知全集，集合，那么集合为 （A） （B） （C） （D） （2）已知为平行四边形，若向量，，则向量为 （A） （B） （C） （D） （3）已知圆的方程为，那么该圆圆心到直线（为参数）的距离为 （A） （B） （C） （D） （4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （A） （B） （C） （D） （5）已知数列中，，，，那么数列的前项和等于高☆考♂资♀源*网 （A） （B） （C） （D） （6）已知，分别是双曲线：的两个焦点，双曲线和圆：的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为 （A） （B） （C） （D） （7）已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间（）上有零点，则的值为 （A）或 （B）或 （C）或 （D）或 （8）已知向量，，是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到.现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到.设，，，则等于 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）复数的虚部是 . （10）的展开式中的系数是 ． （11）如图是甲、乙两名同学进入高中以来次体育测试成绩的茎叶图，则甲次测试成绩的平均数是 ，乙次测试成绩的平均数与中位数之差是 ． （12）如图，已知与圆相切于，半径，交 于，若,，则 ， ． （13）有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻， 丙不排在两头，则这样的排法共有 种． （14）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一 行增加两项，若， 则位于第10行的第8列的项 等于 ，在图中位于 ．（填第几行的第几列） 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分） 在△中，三个内角，，的对边分别为，，，且． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求的最大值． （16）（本小题共14分） 如图，已知是直角梯形，且，平面平面，，，， 是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值． （17）（本小题共13分） 某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次. （Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率； （Ⅱ）记奖品个数为随机变量，求的分布列及数学期望. （18）（本小题共14分） 已知函数，（为常数，为自然对数的底）． （Ⅰ）当时，求； （Ⅱ）若在时取得极小值，试确定的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将换元为，试判断曲线是否能与直线（ 为确定的常数）相切，并说明理由． （19）（本小题共13分） 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且△的周长为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值． （20）（本小题共13分） 设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中 称为数组的“元”，称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”，则称为的子数组. 定义两个数组，的关系数为. （Ⅰ）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值； （Ⅱ）若，，且，