2013年一模几何综合题(教师版)doc.docVIP

24. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明； 问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出（1）MN=AM+CN???． ……………1分 （2）猜想的结论：MN=CN-AM． ……………3分 证明:??NC截取?CF= AM，连接BF ??? ??∵ ∠ABC+∠ADC=180°， ???? ?∴ ∠DAB+∠C=180°． 又∵ ∠DAB+∠MAB=180°， ∴ ∠MAB=∠C． ?????????? ?? ∵ AB=BC? AM=CF， ?????? ???∴ △AMB≌△CFB?? ??? ??∴ ∠ABM=∠CBF?， BM=BF． ∴ ∠ABM +∠ABF =∠CBF+∠ABF． 即 ∠MBF =∠ABC． ∵ ∠MBN=∠ABC， ∴∠MBN=∠MBF． 即∠MBN=∠NBF 又∵ BN=BN?? BM=BF ??????????? ∴ △MBN≌△FBN． ???? ?∴?MN=NF． ???? ?∵ NF=CN-CF， ???? ?∴ MN=CN-AM???．????? ???………………?…7分 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=，点P在△ABC的内部． () 如图1，AB=2AC，PB=3，点AB、BC边上，则cos=_______， △PMN周长的最小值为_______；(2) 如图，AB=2AC不变，而PA=，=，=1，(3) 若PA=，=，=，，直接写出∠APB的度数． 24．：（1）=PMN周长的最小值为 3 ；………………………2分 （2）分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，（如图6） 则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC. ∴AD=AP=AF， BD=BP=BE，CE=CP=CF. ∵由（1）知∠ABC=30°，∠=60°，∠AB=90°，∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠=2∠BAC=120°，∠FCE=2∠ACB=180°. ∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线. ∴DE=BD=BP=，EF=CE+CF=2CP=2. ∵△ADF中，ADAF=，∠DAF=120°，∴∠ADF=∠AFD=30°. ∴DF=AD =. ∴. ∴∠DFE=90°. ………………………………………………………4分∵， ∴. ∴. ……………………………………………5分∠APB=150°. ………………………………………………………… 7分⊥DE于M，AN⊥DF于N.（如图7） 由（2）知∠DBE=，∠DAF=. ∵BD=BE=，AD=AF=， ∴∠DBM=，∠DAN=. ∴∠1=，∠3=. ∴DM =，DN=. ∴DE=DF=EF. ∴∠2=60°. ∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°. 在△中，∠＝．经过点的直线l（l不与直线重合）与直线的夹角等于，分别过点、点作直线l的垂线，垂足分别为点、点． （1）若，=（如图），则的长为 ； （2）写出线段、之间的数量关系，并加以证明； （3）若直线、交于点， ，=4，求的长． 24．（1）.………………………1分 （2）线段、之间的数量关系为.………………………2分 证明：如图1，延长与直线交于点． 依题意，可得∠1＝∠2． ∵∠＝， ∴∠3=∠4. ∴. ∴＝．………………………3分 ∵⊥，⊥， ∴∥． ∴△∽△． ∴ ． ∴．……………