同济大学线性代数课件第三章PPT.ppt

第三章 矩阵的初等变换  与 线性方程组;§1 矩阵的初等变换;;;令;消元法的三类变换：;三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一 类的初等变换。;若矩阵 A 经过有限次初等变换变成 B，则称 A 与 B 等价，记作 A ～ B .;(1)的增广矩阵;;;行最简形;等价标准形;任一 m×n 矩阵 A 都等价于一个如下的矩阵 ;§2 初等矩阵;Date;Date;Date;三类初等矩阵：;三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置 矩阵都是同一类的初等矩阵。;定理1：;Date;方阵A可逆的充要条件是A可以表示为 若干个初等矩阵的乘积。;方阵 A可逆的充要条件是 A ~ E;例.;即;解：;Date;;例：;Date;;§3 矩阵的秩;定义4：矩阵 A的 最高阶非零子式的阶数 称为 A的秩，记作 R(A) 。;2 阶子式;定理 3 若A ~ B, 则 R(A) = R(B) .;性质 1. 若A的所有 r 阶子式(如果有)全等于零， 则阶数大于r 的所有子式全等于零。;5. R(PAQ) ＝ R(A), 其中P, Q为可逆矩阵。;设;注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它的秩 至多减少一。 将 C1看成一个 n 阶矩阵划去了n-r1行, n-r2 列，于是有;§3 线性方程组的解;化为行最 简形矩阵;( # );(1) 若 ，则 (#)无解。;非齐次性线性方程组解的条件 ;例10：求解线性方程组;可知方程组无解。;例11：求解线性方程组;Date;得;Date;齐次性线性方程组解的条件 ;例9：求解齐次线性方程组;Date;Date;矩阵方程有解的条件 ;定理9：矩阵方程;线性代数答疑辅导时间: 每周二 12:20到13:20 地点: (数学系)致远楼102室