[数学]概率论第三章多维随机变量及其分布3.ppt

第3节 2．二维连续型随机变量的条件分布 3、连续型随机变量的条件密度函数 条件密度函数的性质 例 4 作业 p104 12 * 条件分布 第三章 二、条件分布函数 一、条件分布律 三、条件概率密度 1．二维离散型随机变量的条件分布 设 是二维离散型随机变量，其分布律为 关于 和 的边缘分布律分别为 设 　　，我们考虑在事件 已发生的条件下事件 　　发生的概率， 由条件概率公式可得 定义1 设 是二维离散型随机变量，对于固定 的 ，若 　　，则称 为在 的条件下 的条件分布律。 易知上述条件概率具有分布律的性质 同样，设 是二维离散型随机变量，对于固定 的 ，若 　　，则称 为在 的条件下 的条件分布律。 例1 袋里有2个白球，3个黑球，从袋里任取2个球，用 表示第一次取到的是白球， 表示第一次取到的是黑球；用 表示第二次取到的是白球， 表示第二次取到的是黑球，如果是放回抽样，试求在 的条件下的 条件分布律，以及在 的条件下 的条件分布律。 解　因为是放回抽样，所以 所以 的分布律和边缘分布律为 又由 1 0 Y 知在条件 的条件下 分布律为 同理，在 的条件下 的条件分布律为 1 0 X 同样，在条件 下 的条件分布函数为 在条件 下的 条件分布函数可由条件分 布律得出，即 设 是二维连续型随机变量，因为对任意的 有 ， ，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布。下面我们用极限的方法导出条件分布函数。 定义2　 给定 ，设对任意固定的正数 ， ，如果对任意实数 ， 极限 存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，写成 P{ X? x |Y= y }，或记为 FX|Y(x|y). 设 的分布函数为 ，概率密度为 ，在点 处 和 连续且 ，则有 若记 为在条件 下 的条件概率密度，则由上式可得 类似地有 由此可得关系式 例2 设随机变量 的概率密度为 其中 是由 和 围成的区域， 求条件概率密度 , 解　要求条件概率密度，须先求出常数和边缘密度 由 因为仅当 在 内取值时， ，故 其中 当 或 时，无定义 因为仅当 在 内取值时 ，故 当 或 时， 无定义。 其中 例3 设 的联合分布密度为 解 关于 的边缘密度为 于是 注 下列解法是常见的错误： 所以上式无意义。 错误的原因是直接用事件的条件概率公式计算。 解： * *