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2003.12.18 机器学习-贝叶斯学习 作者：Mitchell 译者：曾华军等 讲者：陶晓鹏 机器学习 第6章 贝叶斯学习 概述 贝叶斯推理提供了一种概率手段，基于如下的假定：待考察的量遵循某概率分布，且可根据这些概率及已观察到的数据进行推理，以作出最优的决策。 贝叶斯推理为衡量多个假设的置信度提供了定量的方法 贝叶斯推理为直接操作概率的学习算法提供了基础，也为其他算法的分析提供了理论框架 简介 贝叶斯学习算法与机器学习相关的两个原因： 贝叶斯学习算法能够计算显示的假设概率，比如朴素贝叶斯分类 贝叶斯方法为理解多数学习算法提供了一种有效的手段，而这些算法不一定直接操纵概率数据，比如 Find-S 候选消除算法 神经网络学习：选择使误差平方和最小化的神经网络 推导出另一种误差函数：交叉熵 分析了决策树的归纳偏置 考察了最小描述长度原则 贝叶斯学习方法的特性 观察到的每个训练样例可以增量地降低或升高某假设的估计概率。而其他算法会在某个假设与任一样例不一致时完全去掉该假设 先验知识可以与观察数据一起决定假设的最终概率，先验知识的形式是：1）每个候选假设的先验概率；2）每个可能假设在可观察数据上的概率分布 贝叶斯方法可允许假设做出不确定性的预测 新的实例分类可由多个假设一起做出预测，用它们的概率来加权 即使在贝叶斯方法计算复杂度较高时，它们仍可作为一个最优的决策标准衡量其他方法 贝叶斯方法的难度 难度之一：需要概率的初始知识，当概率预先未知时，可以基于背景知识、预先准备好的数据以及基准分布的假定来估计这些概率 难度之二：一般情况下，确定贝叶斯最优假设的计算代价比较大（在某些特定情形下，这种计算代价可以大大降低）。 内容安排 介绍贝叶斯理论 定义极大似然假设和极大后验概率假设 将此概率框架应用于分析前面章节的相关问题和学习算法 介绍几种直接操作概率的学习算法 贝叶斯最优分类器 Gibbs算法 朴素贝叶斯分类器 讨论贝叶斯信念网，这是存在未知变量时被广泛使用的学习算法 贝叶斯法则 机器学习的任务：在给定训练数据D时，确定假设空间H中的最佳假设。 最佳假设：一种方法是把它定义为在给定数据D以及H中不同假设的先验概率的有关知识下的最可能假设 贝叶斯理论提供了一种计算假设概率的方法，基于假设的先验概率、给定假设下观察到不同数据的概率以及观察到的数据本身 先验概率和后验概率 用P(h)表示在没有训练数据前假设h拥有的初始概率。P(h)被称为h的先验概率。 先验概率反映了关于h是一正确假设的机会的背景知识 如果没有这一先验知识，可以简单地将每一候选假设赋予相同的先验概率 类似地，P(D)表示训练数据D的先验概率，P(D|h)表示假设h成立时D的概率 机器学习中，我们关心的是P(h|D)，即给定D时h的成立的概率，称为h的后验概率 贝叶斯公式 贝叶斯公式提供了从先验概率P(h)、P(D)和P(D|h)计算后验概率P(h|D)的方法 P(h|D)随着P(h)和P(D|h)的增长而增长，随着P(D)的增长而减少，即如果D独立于h时被观察到的可能性越大，那么D对h的支持度越小 极大后验假设 学习器在候选假设集合H中寻找给定数据D时可能性最大的假设h，h被称为极大后验假设（MAP） 确定MAP的方法是用贝叶斯公式计算每个候选假设的后验概率，计算式如下 最后一步，去掉了P(D)，因为它是不依赖于h的常量 极大似然假设 在某些情况下，可假定H中每个假设有相同的先验概率，这样式子6.2可以进一步简化，只需考虑P(D|h)来寻找极大可能假设。 P(D|h)常被称为给定h时数据D的似然度，而使P(D|h)最大的假设被称为极大似然假设 假设空间H可扩展为任意的互斥命题集合，只要这些命题的概率之和为1 举例：一个医疗诊断问题 有两个可选的假设：病人有癌症、病人无癌症 可用数据来自化验结果：正+和负- 有先验知识：在所有人口中，患病率是0.008 对确实有病的患者的化验准确率为98%，对确实无病的患者的化验准确率为97% 总结如下 P(cancer)=0.008, P(?cancer)=0.992 P(+|cancer)=0.98, P(-|cancer)=0.02 P(+|?cancer)=0.03, P(-|?cancer)=0.97 举例：一个医疗诊断问题（2） 问题：假定有一个新病人，化验结果为正，是否应将病人断定为有癌症？求后验概率P(cancer|+)和P(?cancer|+) 利用式子6.2找到极大后验假设 P(+|cancer)P(cancer)=0.0078 P(+|?cancer)P(?cancer)=0.0298 hMAP=?cancer 确切的后验概率可将上面的结果归一化以使它们的和为1 P(canner|+)=0.0078/(0.007